ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛІ
В
1. Поверхневі інтегралі Першого роду
Поверхневі інтегралі Першого роду є узагальнення подвійніх інтегралів.
Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні Визначи обмеже функція. (Поверхня назівається гладкою, ЯКЩО в Кожній ее точці існує дотичність площинах и при переході від точки до точки положення цієї дотічної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка Складається Із скінченного числа неперервно з'єднаних гладких поверхонь, назівається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхонь на довільніх частин без спільніх внутрішніх точок (рис. 1); нехай - площа, а - діаметр Частини поверхні. У Кожній частіні віберемо довільну точку и складемо суму
. (1)
В
Малюнок 1 - Поверхня
Цю торбу назівають інтегральною сумою для Функції по поверхні.
Если при інтегральні суми (1) мают скінченну межу, яка НŠ​​покладів ні від способу розбіття поверхні, ні від Вибори точок, Цю границю назівають Поверхнево інтегралом Першого роду від Функції по поверхні и позначають.
Таким чином, за зазначені
. (2)
У цьом разі функція назівається інтегровною по поверхні, а поверхня - області інтегрування.
Если функція неперервно на поверхні, то вона інтегровна по.
Обчислення Поверхнево інтеграла Першого роду зводіться до обчислення Подвійного інтеграла.
Нехай гладка поверхня, задана рівнянням, проектується на площинах в область. Припустиме, что функція неперервно на поверхні, а Функції неперервні в области.
Внаслідок розбіття поверхні на Частини область розіб'ється на частині, Які є відповіднімі проекціямі частин на площинах (рис. 2). br/>В
Малюнок 2 - Розбіття поверхні на Частини
Если - Площа области, - площа поверхні, то
,
того інтегральну суму (1) можна записатися у вігляді
. (3)
Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для Функції
,
того з рівностей (2) і (3) віпліває, что
. (4)
Формула (4) віражає Поверхнево інтеграл Першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні на площинах.
Аналогічно можна отріматі формули, что віражають інтеграл по поверхні через подвійні інтегралі по ее проекціях на площини та. Если Поверхня задається рівнянням або, то
В
,
де та - проекції поверхні на коордінатні площини та відповідно.
Если у Формулі (2) покластись на поверхні, то отрімаємо
, (5)
де - Площа поверхні, тоб за помощью Поверхнево інтеграла Першого роду можна обчіслюваті площі поверхонь.
Крім того, поверхневі інтегралі Першого роду застосовують при обчісленні масі, координат центру масі, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою Поверхнево Густиня розподілу масі. Виведення відповідніх формул по суті НЕ відрізняється від виводу аналогічніх формул для матеріальної пластинки.
Если на кусково-гладкій поверхні розподілено масу з Поверхнево Густиня, то:
а) маса матеріальної поверхні
;
б) координат та центру масі поверхні:
,
де - Статічні моменти поверхні відносно осей;
в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початки координат:
В
2. Поверхневі інтегралі іншого роду
Введемо Поняття Сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні довільну точку, проведемо в ній нормаль Певного напряму и розглянемо на поверхні довільній замкненому контур, Який виходе з точки и повертається в точку, що не перетінаючі при цьом Межі поверхні. Переміщатімемо точку по замкненому контуру разом з вектором так, щоб вектор весь годину залишавсь нормальної до. При обході заданого контуру Ми можемо вернуться в точку з тим самим або з протилежних безпосередньо нормалі.
Если у довільну точку поверхні после обходу довільного замкненому контуру, розміщеного на поверхні, Який НЕ перетінає ее межу, ми повертаємося з початкових безпосередньо нормалі, то поверхня назівають двосторонньою.
Если при обході Деяк контуру Напрям нормалі змінюється на протилежних, то Поверхні назівають односторонньою.
приклада двосторонніх поверхонь є площинах, сфера, довільна Замкнена поверхню без самоперетінів, довільна поверхню, задана рівнянням, де - Функції, неперервні в деякій области площини.
Прикладом односторонньої поверхні є так звань лист Мебіуса (рис. 3).
В
Малюнок 3 - Лист Мебіуса
Модель цієї поверхні можна отріматі, ЯКЩО прямокутна смужку паперу, перекрутив один раз, склеїті так, щоб точка збігалася з, а точка - з.
двостороння Поверхні назівають орієнтовною, а вибір певної ее Сторони орієнтацією поверхні. Направила до Кожній точці замкненої по...
