верхні нормаль всередину об'єму, обмеженності поверхнею, отрімаємо внутрішню сторону поверхні, а направивши нормаль зовні поверхні-зовнішню ее сторону. Надалі розглядатімемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовні. p> Нехай - Орієнтовна (сторона вже обрана) поверхня, обмеже контуром, Який НЕ має точок самоперетіну. Вважатімемо за додатний тієї Напрям обходу контуру, при якому Спостерігач, розміщеній так, что Напрям нормалі збігається з Напряму від ніг до голови при Русі, залішає поверхнею Зліва від себе (мал. 4).
В
Малюнок 4 - Орієнтовна Поверхня
протилежних Напрям обходу назівається від'ємнім. Если Изменить орієнтацію поверхні на протилежних, то додатний и від'ємній напрями обходу контуру поміняються місцямі.
з'ясуємо тепер Поняття поверхнево інтеграла іншого роду.
Нехай - Гладка поверхня, задана рівнянням і - обмеже функція, Визначи в точках поверхні. Зорієнтуємо поверхню. Розіб'ємо ее довільно на частин. Позначімо через проекцію-ї Частини поверхні на площинах, а через - площу, взяту Із знаком плюс, ЯКЩО обрана зовнішня сторона поверхні, та Із знаком мінус, ЯКЩО обрана внутрішня сторона поверхні. Віберемо в Кожній частіні довільну точку и складемо суму
. (6)
вирази (6) назівається інтегральною сумою. Нехай - Максимальний діаметр поверхонь.
Если при інтегральні суми (6) мают скінченну границю, яка НŠ​​покладів ні від способу розбіття поверхні, ні від Вибори точок, то Цю границю назівають Поверхнево інтегралом іншого роду и позначають так:. Отже, за зазначені
. (7)
Зх Означення Поверхнево інтеграла іншого роду віпліває, что при зміні Сторони поверхні на протилежних інтеграл змінює знак, бо змінює знак.
поверхнею можна такоже проектуваті на коордінатні площини та. Тоді матімемо ще два поверхневі інтегралі, де - Функції, візначені в точках поверхні.
Оскількі (Рис. 5),
В
Малюнок 5 - Проекція поверхні на координатно площинах
де - Елемент площі поверхні - куті между нормаллю до поверхні та осями відповідно, то справедливі Такі формули:
В
На практіці найпошіренішімі є поверхневі інтегралі, Які об'єднують УСІ названі, тоб
. (8)
Если, Наприклад, вектор є швідкістю Рідини, то кількість Рідини, яка протікає через поверхню за одиницю годині, назівається потоком вектора через поверхню и находится за формулою:
.
У цьом Полягає фізичний Зміст Поверхнево інтеграла іншого роду. Зрозуміло, коли вектор має іншу природу, Поверхнево інтеграл має Інший фізичний Зміст.
Формула (8) віражає загальний Поверхнево інтеграл іншого роду через Поверхнево інтеграл Першого роду.
Поверхневі інтегралі іншого роду обчислюють за помощью подвійніх інтегралів.
Нехай функція неперервно в усіх точках гладкої поверхні, яка задана рівнянням, де область - Проекція поверхні на площинах. Віберемо верхню сторону поверхні, де нормаль до поверхні утворює з віссю гострий кут, тоді. Оскількі, то суму (6) можна записатися у вігляді
. (9)
У правій частіні рівності (9) містіться інтегральна сума для Функції. Ця функція неперервно в области, того інтегрована в ній. p> Перейшовші в рівності (9) до границі при, отрімаємо формулу
,
яка віражає Поверхнево інтеграл іншого роду по змінніх и через подвійний. Если вібрато нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює з віссю тупий кут), то одержаний подвійний інтеграл беруться Із знаком В«мінусВ», тому
. (10)
Аналогічно
; (11)
. (12)
У Формулі (11) гладку поверхню задано рівнянням, а у Формулі (12) - рівнянням. Знак В«плюсВ» беремо у ціх формулах тоді, коли нормаль до поверхні утворює відповідно з віссю, з віссю гострий кут, а знак В«мінусВ» - колі тупий кут;, - проекції поверхні на площини та відповідно.
Для обчислення загально інтеграла (8) Використовують формули (10) - (12), проектуючі поверхні на ВСІ три коордінатні площини. Таким чином,
В
Правільність Вибори знаків перед подвійнімі інтеграламі можна перевіріті помощью формули
,
яка візначає одінічній нормальний вектор до поверхні. Подвійний знак у Цій Формулі відповідає двома сторонам поверхні. З формули (8) віпліває, что знак перед подвійнім інтегралом збігається Із знаком відповідного Напрямна косинуса нормалі:
.
Если Поверхня неоднозначно проектується на будь-яку координатно площинах, то Цю поверхнею розбівають на частині, а інтеграл (8) - на торбу інтегралів по одержаних Частинами поверхні.
3. Формула Остроградського-Гаусса
Формула Остроградського-Гаусса встановлює зв'язок между Поверхнево інтегралом по замкненій поверхні и потрійнім інтегралом по просторовій области, обмеженій цією поверхнею. ...
