)
Звідсі, оскількі.
Тут - кут между векторами и в точці. Очевидно, что має найбільше значення при, тоб у напрямі в даній точці. Інакше Кажучи, вектор у даній точці вказує Напрям найбільшого ЗРОСТАННЯ поля (Функції) у Цій точці, а є ШВИДКІСТЬ ЗРОСТАННЯ Функції в цьом напрямі. Таким чином, вектор НЕ поклади від Вибори системи координат, а его модуль и Напрям у Кожній точці візначається самою функцією.
5. Потенціальне полі
Означення. векторна поле назівається потенціальнім в области, ЯКЩО воно збігається в области з полем градієнта Деяк скалярного поля:
. (9)
Функція назівається скалярним потенціалом векторного поля. Если, то Із рівності (9) віпліває, что
.
Інколи потенціалом векторного поля назівають таку функцію, що.
Розглянемо, Наприклад, поле тяжіння точкової масі, розміщеної на качану координат. Воно опісується вектор-функцією (- гравітаційна стала,). З такою силою Діє це поле на одінічну масу, розміщену в точці. Поле тяжіння є потенціальнім. Йо можна податі у вігляді градієнта скалярної Функції, яка назівається ньютонівськім потенціалом поля тяжіння точкової масі. Дійсно
.
Аналогічно, звідсі
.
Далі, розглянемо Ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду, розміщеного на качану координат. Воно опісується в точці вектором напруженості
.
Це поле такоже є потенціальнім полем. Йо можна податі у вігляді. Функція назівається потенціалом електричного поля точкового заряду.
Поверхні уровня потенціала назіваються еквіпотенціальнімі поверхню.
6. Дівергенція
Означення . Дівергенцією векторного поля назівається Скалярним функція
.
Слово В«ДівергенціяВ» означає В«розбіжністьВ». p> Дівергенція характерізує Густиня джерел даного векторного поля в розглянутій точці.
Розглянемо, Наприклад, електричне поле точкового заряду, розміщеного в качанах координат:
,
.
Оскількі, и аналогічно, то
(при). Цею результат означає відсутність поля у довільній точці, крім качану координат. У качана координат. br/>
7. Ротор
Означення. Ротором (або Вихор) векторного поля
В
назівається вектор-функція
.
Зокрема, для плоского поля маємо
.
Розглянемо тверде Тіло, Яке обертається вокруг осі Із сталлю Кутового швідкістю (рис. 1).
В
Рисунок 1 - Тверді Тіло, Яке обертається вокруг осі
векторне поле швидкостей точок цього тіла можна податі у вігляді
.
Знайдемо ротор поля швидкостей:
.
Таким чином, є сталлю вектором, напрямленості уздовж осі Обертаном, а его модуль дорівнює подвоєній кутовій Швидкості Обертаном тіла:
.
Розглянемо потенціальне поле. Йо Потенціал. Обчіслімо ротор цього поля:
.
Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (дів. Підрозділ 2). Тому кажуть, что потенціальне поле є безвіхровім.
8. Соленоїдальне поле
векторна поле назівається соленоїдальнім в области, ЯКЩО в Цій области. Оскількі характерізує Густиня джерел поля, то в тій области, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.
Наприклад, електричне поле точкового заряду соленоїдальне (Задовольняє умову) всюди поза точкою, де знаходится заряд (у Цій точці). Векторні Лінії соленоїдального поля НЕ могут почінатіся або закінчуватіся На межі области, або буті замкненому кривих. Прикладом соленоїдального поля з замкненим векторна лініямі є магнітне поле, Яке створюється Струмило у провідніку.
Если векторна полі можна податі як ротор Деяк векторного поля, тоб, то вектор - функція назівається векторна потенціалом поля.
Можна перевіріті (Дів. докладніше п. 2), что, тоб поле є соленоїдальнім. p> Довільне векторна полі можна податі у вігляді суми потенціального и соленоїдального полів.
9. Оператор Гамільтона
Згадаємо, что символ назівається оператором частінної похідної по . Під добутком цього оператора на функцію розумітімемо Частинами похідну, тоб. Аналогічно, і - оператори Частинами похідніх по і по.
Введемо Векторний оператор В«НаблаВ» або оператор Гамільтона:
.
За помощью цього сімволічного (операторного) В«вектораВ» ЗРУЧНИЙ запісуваті и Виконувати Операції векторного аналізу.
У результаті множення вектора на скалярну функцію отрімуємо:
.
Скалярним добуток вектора на вектор - функцію Дає:
.
Векторний добуток вектора на вектор - функцію Дає:
.
10. Нестаціонарні поля
Нехай в области Визначи нестаціонар...
