План
I. Вступ
1.1 Фрактал. Історія его Виникнення
1.2 Віді фракталів та методи їх создания
1.3 Тіпі самоподібності у фракталах
1.4 Розмірність фракталів
II. Основна частина
2.1 Класифікація алгорітмів создания фракталів
2.2 Системи Ітеріруєміх Функцій
2.3 Стіснюючі афінні Перетворення
2.4 Метод простої заміні
2.4.1 Серветка Серпінського
2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея
2.5 Алгебраїчні фрактал
2.6 Графікі функцій КОМПЛЕКСНОЇ змінної
2.7 Формули побудова фракталів
2.7.1 Різновид алгебраїчніх фракталів - басейни Ньютона
2.7.2 множини Жюліа та Мандельброта
III. Висновок
IV. Використана література
І Вступ
1.1 Фрактал. Історія его Виникнення
Все, что Створено людиною, обмеже площинах. Колі зустрічається об'єкт у природі, то спочатку можна Побачити, что описати его форму можна позбав набліжено ї допоможуть в цьом фрактал. Де закінчуються правільні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактал.
Фрактал (лат. fractus - подрібненій, дробового) - нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, Малі Частини Якої в довільному збільшенні є подібнімі до неї самої (мал.1).
Об'єкти, Які тепер назіваються фракталами, досліджувалісь Задовго до того, як їм Було дано таку Назв. У етноматематіці, Наприклад в роботах Рона Еглаша "Африканські фрактал", задокументована пошірені фрактальні геометричні фігурі в містецтві тубільців. У 1525 году Німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю "Керівництво Художника", один Із розділів Якої має назви "Черепічні шаблони, утворені Пентагон". Пентагон Дюрера багатая в чому є схожим на килим Серпінського, альо вместо квадратів Використовують п'ятікутнікі. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже Схожі на фрактал. p> Ідею "рекурсівної самоподібності" Було вісунуто філософом Лейбніцом, Який такоже розроб багатая з деталей цієї ідеї. У 1872 Карл Веєрштрасс нашел приклад Функції з неінтуітівною особлівістю, Скрізь неперервної, альо ніде недіференційованої - графік цієї Функції тепер назівався б фракталом. У 1904 Хельга Фон Кох, незадоволення занадто абстрактними та аналітічнім означенность Веєрштрасса, розроб більш геометричність Означення схожої Функції, яка тепер має Назву сніжінкі Коха. Ідею самоподібніх кривих, котрі складаються Із частин, схожих на ціле, Було далі розвинено Полем П'єром Леві, Який у своїй работе "Кріві та поверхні на площіні та у просторі", віданій 1938 року, описавши нову Фрактальна криві, відому тепер як Крива Леві (Мал.2 а, б, в).
В
а) б) в)
Мал.2
Ґеорг Кантор навів Приклади підмножін дійсніх чисел Із незвичне властівостямі - ці множини Кантора тепер такоже візнаються як фрактал. p> Ітераційні Функції на Комплексній площіні досліджувалісь в кінці XIX та на початку XX століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Прото за браком сучасної комп'ютерної графікі у них забракло ЗАСОБІВ відобразіті красу багатьох Із відкритих ними об'єктів.
У 1975 году Мандельброт використан слово фрактал як Назву для об'єктів, розмірність Хаусдорфа якіх є більшою за топологічну розмірність, Наприклад Крива Гільберт (мал.3 а, б, в, г). <В
В
Мал.3
1.2 Віді фракталів та методи їх создания
Існують три пошірені методи создания (генерування) фракталів:
Перший метод - ітераційні Функції, Які будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень, в результаті якіх утворюються геометричні фрактал, Наприклад: сніжинка Коха (мал.4). <В
Мал.4
А такоже множини Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера є прикладами геометричних фракталів.
Другий метод - рекурентні відношення, це фрактал, что візначаються рекурентним відношенням у Кожній точці простору (такому як площинах комплексних чисел). Отримані таким методом фрактал назівають алгебраїчнімі. p> приклада алгебраїчніх фракталів є множини Мандельброта (мал.5), Палаюча корабель та фрактал Ляпунова. br/>В
Мал.5
В
Третій метод - віпадкові Процеси, це фрактал, что генеруються з Використання стохастичних, а не детермінованих процесів, Наприклад: фрактальні ландшафти (мал.6 а, б, в, г, д), Траєкторія Леві та броунівське дерево. <В
Мал.6.
1.3 Тіпі самоподібності у фракталах
Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:
Точна самоподібність - це найсільнішій тип самоподібності; фрактал віглядає однаково при різніх збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використаних ітерац...
