1. Визначення
Диференціальні рівняння з запізнілих аргументом виду
(1)
де,,, називаються диференціальними рівняннями з запізненням, залежних від стану, а саме з зосередженим запізненням.
Якщо задані початкові дані у вигляді
(2)
Те має сенс визначити поняття рішення, що починається в точці Пѓ з функції П†, або, коротше, що починається в П†.
Надалі будемо розглядати тільки рішення, що задовольняють умові Ліпшиця, тому слід дати таке визначення:
Def 1 . Функція називається рішенням системи (1), (2) на відрізку, якщо вона задовольняє таким умовам:
В
на відрізку.
Природно виникає питання про існування та єдиності такого рішення.
Для початку зробимо деякі позначення.
a) є функція, визначена на відрізку і задовольняє умові Ліпшиця з константою L, тобто
;
b)
c)
Def 2. задовольняє умовам a), b), c)}
2. Корисна лема
Lemma 1: - опукле, замкнутий, обмежене безліч в просторі неперервних на відрізку функцій.
Proof :
1) Випуклість:
a) Виберемо довільні функції, тоді
В В
b);
c) на відрізку на тому ж відрізку для будь-яких.
2) Обмеженість:
Безліч визначено так, що всі елементи цього безлічі лежать в кулі радіуса
3) Замкнутість:
Візьмемо послідовність функцій таку, що
, . p> a)
Візьмемо тоді
В
Так як це вірно при будь-якому, то отримуємо, що гранична функція задовольняє умові Ліпшиця з константою L.
b) По теоремі Кантора рівномірно на відрізку.
Припустимо, що при цьому (Для простоти докази припустимо що, якщо, міркування проводяться аналогічно)
Візьмемо, тоді, так як для будь-якого позитивного і будь-якого виконано , То виконано і для даних і t. Отримаємо:
В
Так як за припущенням, то отримуємо що, а це неможливо, так як. Протиріччя показує, що гранична функція обмежена за нормою тієї ж константою.
c)
В
на відрізку.
Бачимо, що виконання умов a, b, c рівнозначно тому що, то є безліч замкнуто.
Лема доведена повністю.
3. Існування і єдність розв'язку
Для доказу теореми про існування та єдиності ліпшіцевого рішення нам буде потрібно деякі поняття і важливі теореми, докази яких можна, наприклад, знайти в книзі Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т називається цілком безперервним (Компактним), якщо Т безперервний і Т відображає будь обмежене безліч в предкомпактное.
Def 3. Сімейство Ф функцій П†, визначених на називається рівномірно обмеженим, якщо
Def 4. Сімейство Ф функцій П†, визначених на, називається равностепенно безперервним, якщо
Теорема 1. (Арцела)
Для того щоб сімейство Ф безперервних, визначених на відрізку функцій було предкомпактом в, необхідно і достатньо, щоб це сімейство було рівномірно обмеженим і равностепенно безперервним.
Теорема 2 . (Шаудера, принцип нерухомої точки)
Якщо U-замкнутий обмежене опукле підмножина простору Банаха X оператор цілком безперервний, то Т має в U принаймні одну нерухому крапку.
Саме на теоремі Шаудера засноване доказ теореми про існування та єдиності рішення.
Теорема 3. (існування і єдиність рішення системи (1). (2))
Нехай система (1), (2) така що:
В
Тоді така що на відрізку існує рішення системи (1), (2), що задовольняє умові Ліпшиця, і воно єдино.
Зауваження. Для простоти візьмемо, для інших значень теорема доводиться аналогічно, або зводиться до цього випадку заміною змінних.
Доказ: Проінтегрував рівняння (1), побачимо, що рішення має задовольняти умові:
В
Позначимо
В
і будемо шукати рішення в вигляді
Де
Визначимо оператор
,
Який діє з в себе, дійсно, візьмемо довільний елемент
a) Перевіримо, чи задовольняє образ умові Ліпшиця: візьмемо
В В
При
b)
При виконано.
c) при за визначенням оператора.
Виконання умов a, b, c означає що.
Для цього необхідно підібрати параметри так, щоб одночасно виконувалися умови:
(3)
(4)
Покажемо, що оператор Т здійснює безперервне відображення:
Візьмемо послідовність таку що
В В
Оцінка виконана на всьому інтервалі, величина позитивна і конечна, звідси випливає, що при |
також прагне до нуля, а значить оператор Т переводить сходяться послідовності в ...
