сходяться, а значить він безперервний.
Компактність оператора будемо доводити по теоремі Арцела, так як образ оператора лежить в просторі з відповідною нормою.
1), br/>
права частина не залежить ні від t , ні від y , значить образ оператора - рівномірно обмежене сімейство функцій.
2)
Вибираючи отримуємо що образ оператора є равностепенно безперервне сімейство функцій.
А значить, образ безлічі предкомпакт, а оператор Т цілком неперервний.
Так як безліч обмежена, опукло і замкнуто, а оператор Т компактний і діє з цієї множини в себе, то по теоремі Шаудера існує принаймні одна нерухома точка з цього множини.
, а це означає, що - рішення системи (1), (2).
Одиничність:
Припустимо, що при виконанні умов теореми x і y - рішення системи (1), (2) на інтервалі.
При обидва вирішенні збігаються з початковими даними, а значить рівні між собою. На інтервалі оцінимо модуль різниці функцій, які є рішеннями.
В
Ця оцінка вірна для довільного t звідси негайно випливає, що
,
Вибираючи таким малим, щоб було менше 1, отримуємо що, а значить на. Послідовно ладу інтервали довгою закінчимо доказ теореми.
4.Прімер неодиничності ( Winston )
Для рівняння з початковими даними
В
для малих позитивних t існує два різних рішення:
В
Дійсно, перевіримо, чи задовольняють ці функції рівняння:
В В В
Значить, система має два різних рішення. Це відбувається тому що при малих t аргумент виявляється в околиці -1, а при цих значеннях початкові дані недостатньо візьмеш, що не виконана умова Ліпшиця.
Список використаної літератури
[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. -Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977. p> [2] Резуненко А.В. Короткий вступ в звичайні диференціальні рівняння з запізнілих аргументом. Харків-2004. p> [3] Кадец В.М. Курс функціонального аналізу. Харків-2006. p> [4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems. В«АстаВ» -2002. p> [5] Д. Хенрі. Геометрична теорія напівлінійних параболічних рівнянь. Москва. В«СвітВ» -1985. p> [6] Колмогоров ів О.М. Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу 1976
