>
Безперервна на відрізку функція інтегровна за Ріманом (наслідок властивостей 1-5). Розривні функції можуть бути інтегровними, але можуть і не бути; прикладом функції, не интегрируемой за Ріманом, є всюди розривна функція <# "justify"> Якщо функція F є первісною неперервної функції f, то інтеграл функції f на відрізку [a, b ] може бути обчислений за формулою Ньютона-Лейбніца: він дорівнює F (b)? F (a). (Це - загальна властивість будь-яких інтегралів, що задовольняють властивостям 1-5, а не тільки інтеграла Рімана.) Безперервна на відрізку функція f завжди має первісну, і кожна первообразная має вигляд: , де C - довільна константа .
Приклади розв'язання певного інтеграла
Обчислити інтеграл
Рішення.
Покладемо u = x, dv = cos x dx = d (sin x), отримаємо du = dx, v = sin x. Застосовуючи формулу
В В В
Обчислити інтеграл .
Рішення.
Покладемо , звідси x = t2 - 1 і dx = 2t dt. Нові межі інтегрування визначаються з формули ; вважаючи x = 0, матимемо t = 1 і, вважаючи x = 3, отримаємо t = 2. Отже,
В В
Площа криволінійного сектора в полярних координатах
О: Полярної системою координат називається сукупність т. О (полюса) і виходить з цієї точки спрямованої полупрямой (полярної осі). Полярними координатами т. м називаються числа (полярний радіус) і (полярний кут) (рис. 1, а).
В
Рис. 1
Якщо вважати, що то між точками площини і парами чисел встановлюється взаємно однозначна відповідність.
Нехай початок прямокутної системи координат ХОY збігається з полюсом, а позитивна частина осі ОХ-з полярною віссю. Тоді залежність між координатами т. м в декартовій і полярній системах визначається формулами (рис. 1, б). br/>
(1)
При знаходженні необхідно враховувати, в якій чверті знаходиться т. М, так як формули (18.1) дають два значення полярного кута від 0 до
Лінія в полярній системі координат визначається рівнянням Наприклад, r = a, a = const - рівняння кола з центром в полюсі і радіусом а (рис. 2, а); - рівняння так званої трипелюстковими троянди (рис. 2, б).
В
Рис. 2
О: Криволінійним сектором в полярній системі координат називається фігура D з кордоном (рис. 1, а).
Для обчислення площі криволінійного сектора розіб'ємо його на п частин променями Нехай
- довжина деякого радіус-вектора, розташованого в (рис. 3, б).
В
Рис. 3
Площа В«ступеневоїВ» сектора, що складається з п кругових секторів з центральними кутами і радіусами
В
За площа криволінійного сектора природно прийняти
В
Так як в правій частині цього рівняння варто інтегральна сума для функції на відрізку то остаточно
маємо
Приклад: Обчислити площу, обмежену трехлепестко-вої трояндою (див. рис. 2, б).
Досить обчислити площу половини однієї пелюстки при тоді
В В
Приклад: Знайти площу фігури, обмеженої графіком функції y = x ?,? > 0 , прямий х = 1 і віссю Ох. Рішення. За формулою маємо
В
Нехай на відрізку [а, b] задані дві безперервні функції y1 = f1 (x) і y2 = f2 (x), причому при всіх значеннях х з цього відрізка y1? y2. Знайдемо площу фігури, обмеженої графіками цих функцій, а також прямими х = а і х = b. Якщо обидві функції невід'ємні, то площа даної фігури дорівнює різниці площ криволінійних трапецій, обмежених відповідно графіками функцій y2 = f2 (x), y1 = f1 (x), прямими х = а і х = b і віссю абсцис. Отже, площа S даної фігури можна знайти так
В
Обчислення об'єму тіла за площами паралельних перерізів. Площа перерізу тіла...
