еквівалентними , якщо
mE (f В№ g) = 0
Позначати еквівалентність функцій f (x) і g (x) прийнято так:
f (x) ~ g (x).
Визначення 3. Нехай деякий обставина S має місце для всіх точок якого-небудь безлічі Е, окрім точок, що входять до підмножина Е 0 безлічі Е. Якщо Mе 0 = 0, то кажуть, що S має місце майже скрізь на безлічі Е, або майже для всіх точок Є.
Зокрема, безліч виняткових точок Е 0 може бути і порожнім.
Тепер можна сказати, що дві функції, задані на множині Е, еквіваленти, якщо вони рівні майже скрізь на Є.
Теорема 4. Якщо f (х) є вимірна функція, задана на безлічі Е, а g ( x ) ~ f < i> ( x ), то g ( x < i>) також вимірна.
Д про до а із а т е л ь с т в о . Нехай А = Е (f В№ g), B = E - A. Тоді mA = 0, отже У вимірюється. Значить функція f (x) вимірна на безлічі В. Але на безлічі У функції f (x) і g (x) не відрізняються, так що g (x) вимірна на В. Оскільки g (x) вимірна і на А (бо mA = 0), вона вимірна на Е = А + В.
Теорема 5. Якщо для всіх точок вимірного безлічі Е буде f ( x ) = c , то функція f ( x ) вимірна.
Дійсно,
E ( f > a ) =
Зауважимо, що в цій теоремі с може бути і нескінченним. p> Функція f (x), задана на сегменті [а, b], називається ступінчастою, якщо [а, b] розкласти точками.
з 0 = а <з 1 <з 2 <... <з n = b
на кінцеве число частин, в н у т р і яких (Тобто в інтервалах (з k , c k + 1 ) при k = 0, 1, ...., n -1) функція f (x) постійна . Легко зрозуміти, що з теореми 5 випливає
Слідство . Ступенева функція вимірна.
Теорема 6. Якщо f ( x ) є вимірна функція, задана на безлічі Е, то при будь-якому а вимірні множини
E (f Ві a), E (f = a), E (f ВЈ a), E (f
Д про до а із а т е л ь с т в о. Легко перевірити, що
E (f Ві a) =
звідки слід вимірність множини E (f Ві a). Вимірність інших множин випливає із співвідношень:
E (f = a) = E (f Ві a) - E (f> a), E (f ВЈ a) = E - E (f> a),
E (f
Зауваження. Легко показати, що якщо хоч одне з множин
E (f Ві a), E (f ВЈ a), E (f
виявляється вимірним при всякому а, то функція f ( x ) вимірна на безлічі Е (Яке також передбачається вимірним). p> Дійсно, тотожність) показує, наприк...
