ВИЩА МАТЕМАТИКА
Числові ряди
В
Зміст
Лекція. Числові ряди
1. Визначення числового ряду. Збіжність
2. Основні властивості числових рядів
3. Ряди з позитивними членами. Ознаки збіжності
4. Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца
5. Знакозмінні ряди
Запитання для самоперевірки
Література
Лекція. ЧИСЛОВІ ЛАВ
1. Визначення числового ряду. Збіжність.
2. Основні властивості числових рядів.
3. Ряди з позитивними членами. Ознаки збіжності.
4. Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца.
5. Знакозмінні ряди.
1. Визначення числового ряду. Збіжність
В
У математичних додатках, а також при вирішенні деяких завдань в економіці, статистикою та інших областях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами. p> Нехай задана нескінченна числова послідовність
,, ...,, ...
Визначення 1.1 . Числовим поруч або просто поруч називається вираз (сума) виду
В
. (1.1)
Числа називаються членами ряду , - загальним або n - м членом ряду.
Щоб задати ряд (1.1) досить задати функцію натурального аргументу обчислення-го члена ряду за його номером
Приклад 1.1 . Нехай. Ряд
(1.2)
називається гармонійним поруч .
В
Приклад 1.2 . Нехай, Ряд
(1.3)
називається узагальненим гармонійним поруч . В окремому випадку при виходить гармонійний ряд. p> Приклад 1.3 . Нехай =. Ряд
(1.4)
називається поруч геометричній прогресії .
З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність часткових сум де - сума перших членів ряду, яка називається n - ї часткової сумою , тобто
,
,
,
..................................
, (1.5)
..................................
Числова послідовність при необмеженому зростанні номера може:
1) мати кінцевий межа;
2) не мати кінцевого межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).
Визначення 1.2 . Ряд (1.1) називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцевий межа, тобто
У цьому випадку число називається сумою ряду (1.1) і пишеться
.
Визначення 1.3. Ряд (1.1) називається розбіжним, якщо послідовність його часткових сум не має кінцевого межі . p> розбіжних ряду не приписують ніякої суми.
Таким чином, завдання знаходження суми сходиться ряду (1.1) рівносильна обчисленню границі послідовності його часткових сум.
Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1.4. Довести, що ряд
В
сходиться, і знайти його суму.
Знайдемо n - ю часткову суму даного ряду. p> Загальний член ряду представимо у вигляді. p> Тоді br/>
Звідси маємо:. Отже, даний ряд збігається і його сума дорівнює 1:
В
Приклад 1.5 . Дослідити на збіжність ряд
(1.6)
Для цього ряду
. Отже, даний ряд розходиться. br/>
Зауваження. При ряд (1.6) являє собою суму нескінченного числа нулів і є, очевидно, що сходяться.
Приклад 1.6. Досліджувати на збіжність ряд
(1.7)
Для цього ряду
У цьому випадку межа послідовності часткових сум НЕ існує, і ряд розходиться.
Приклад 1.7. Досліджувати на збіжність ряд геометричної прогресії (1.4):
В
Неважко показати, що n -я часткова сума ряду геометричній прогресії при задається формулою
.
Розглянемо випадки:
1) Тоді й. br/>
Отже, ряд збігається і його сума дорівнює
2) . p> Тоді і.
Отже, ряд розходиться.
3) або Тоді вихідний ряд має вигляд (1.6) або (1.7) відповідно, які розходяться. Остаточно маємо
(1.8)
Приклад 1.8. Знайти суму ряду
В
Очевидно, що даний ряд є поруч геометричній прогресії. У нашому випадку. Тоді з формули (1.8) слід
.
Дослідження на збіжність гармонійного ряду (1.2) і узагальненого гармонічного ряду (1.3) буде проведено в наступному розділі.
В
2. Основні властивості числових рядів
Властивості суми кінцевого числа доданків відрізняються від властивостей ряду, т...
