обто суми нескінченного числа доданків. Так, у разі кінцевого числа доданків їх можна групувати в якому завгодно порядку, від цього сума не зміниться. Існують сходяться ряди (умовно сходяться, які будуть розглянуті в розділі 5), для яких, як показав Ріман *, змінюючи належним чином порядок проходження їх членів, можна зробити суму ряду рівній якому завгодно числа, і навіть розходиться ряд.
Приклад 2.1. Розглянемо розходиться ряд виду (1.7)
В
Сгруппировав його члени попарно, отримаємо сходиться числовий ряд з сумою, рівною нулю:
В
З іншого боку, згрупувавши його члени попарно, починаючи з другого члена, отримаємо також сходитися ряд, але вже з сумою, що дорівнює одиниці:
В
Сходяться ряди мають деякі властивості, які дозволяють діяти з ними, як з кінцевими сумами. Так їх можна множити на числа, почленно складати і вичитати. У них можна об'єднувати в групи будь-які поруч стоять доданки. p> Теорема 2.1. (Необхідний ознака збіжності ряду).
Якщо ряд (1.1) сходиться, то його загальний член прямує до нуля при необмеженому зростанні n , тобто
В
(2.1)
Доказ теореми випливає з того, що, і якщо
S - сума ряду (1.1), то
В
Умова (2.1) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Т. е., якщо загальний член ряду прямує до нуля при, то це не означає, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2) проте, як буде показано нижче, він розходиться.
Слідство ( Достатній ознака расходімості ряду).
Якщо загальний член ряду не прагне до нуля при, то цей ряд розходиться.
Приклад 2.2. Дослідити на збіжність ряд
.
Для цього ряду
Отже, даний ряд розходиться.
Розглянуті вище розбіжні ряди (1.6), (1.7) також є такими в силу того, що для них не виконується необхідна ознака збіжності. Для ряду (1.6) межа для ряду (1.7) межа не існує.
Властивість 2.1 . Збіжність або расходимость ряду не зміниться, якщо довільним чином видалити з нього, додати до нього, переставити в ньому кінцеве число членів (при цьому для сходиться ряду його сума може змінитися).
Доказ властивості випливає з того, що ряд (1.1) і будь-якої його залишок сходяться чи розходяться одночасно.
Властивість 2.2 . сходитися ряд можна множити на число, тобто, якщо ряд (1.1) сходиться, має суму S і c - деяке число, тоді
Доказ випливає з того, що для кінцевих сум справедливі рівності
В
Властивість 2.3. Сходяться ряди можна почленно складати і віднімати, тобто якщо ряди,
сходяться,
то і ряд
сходиться і його сума дорівнює тобто
.
Доказ випливає з властивостей межі кінцевих сум, тобто
В
Приклад 2.3. Обчислити суму ряду
.
Загальний член ряду представимо у вигляді
Тоді вихідний ряд можна представити у вигляді почленного різниці двох збіжних рядів геометричній прогресії
В
Використовуючи формулу (1.8), обчислимо суми відповідних рядів геометричної прогресії.
Для першого ряду тому
.
Для другого ряду тому
В
Остаточно маємо
.
3. Ряди з позитивними членами. Ознаки збіжності
В
Визначити збіжність ряду (1.1) і знайти його суму у випадку збіжності безпосередньо по визначенню 1.1 як границі послідовності часткових сум, вельми скрутно. Тому існують достатні ознаки визначення сходиться ряд або розходиться. У разі його збіжності наближеним значенням його суми з будь-яким ступенем точності може служити сума відповідного числа перших n членів ряду.
Тут будемо розглядати ряди (1.1) з позитивними (невід'ємними) членами, т. е. ряди, для яких Такі ряди будемо називати позитивними рядами.
Теорема 3.1. (ознака порівняння)
Нехай дано два позитивних ряду
В
, (3.1)
, (3.2)
і виконуються умови для всіх n = 1,2, ...
Тоді: 1) з збіжності ряду (3.2) слід збіжність ряду (3.1);
2) з расходімості ряду (3.1) слід расходимость ряду (3.2).
Доказ . 1. Нехай ряд (3.2) збігається і його сума дорівнює В . Послідовність часткових сум ряду (3.1) є неубутною обмеженою зверху числом В , тобто
В
Тоді в силу властивостей таких послідовностей слід, що вона має кінцевий межа, тобто ряд (3.1) сходиться.
2. Нехай ряд (3.1) розходиться. Тоді, якщо ряд (3.2) сходиться, то в силу доведеного вище пункту 1 сходився б і вих...
