Поняття багатовимірної випадкової величини
Основні питання лекції: математичне сподівання випадкової величини, властивості математичного сподівання, дисперсія випадкової величини, дисперсія суми випадкових величин, функція від випадкових величин, математичне сподівання функцій від випадкових величин, коефіцієнт кореляції, моменти, кореляційний момент, види збіжності послідовності випадкових величин, нерівності Чебишева, графік функції розподілу для неперервної випадкової величини, різні форми закону великих чисел, теорема Чебишева, теорема Бернуллі, теорема Маркова, центральна гранична теорема теорії ймовірностей, застосування центральнойпредельной теореми, обгрунтування ролі нормального закону розподілу, висновок наближеною формули Лапласа. p> гіпергеометричного розподіл
Вище ми розглянули способи обчислення ймовірностей появи події рівно т раз на n незалежних повторних випробуваннях (за формулами Бернуллі і Пуассона). Тепер познайомимося з обчисленням ймовірності появи події рівно т раз на n залежних повторних випробуваннях. Випадкова величина, що визначає число успіхів у n повторних залежних випробуваннях, підпорядковується гіпергеометрична закону розподілу.
Приклад. В урні N куль, серед яких До білих і (N-K) чорних. Без повернення витягнуті n куль. Визначимо ймовірність того, що у вибірці з n куль виявиться т білих (і відповідно n-m чорних) куль. Зобразимо ситуацію на схемою:
В
Випадкова величина, цікавить нас, X = т - число білих куль у вибірці об'ємом в n куль. Число всіх можливих випадків відбору n куль з N дорівнює числу сполучень з N по n (C N n ), а число випадків відбору т білих куль з наявних До білих куль (і значить, n-m чорних куль з N-K наявних чорних) дорівнює добутку C K m C N-K n-m (Відбір кожного з т білих куль може поєднуватися з відбором будь-якого з n-т чорних). Подія, вірогідність якого ми хочемо визначити, полягає в тому, що у вибірці з n куль виявиться рівно т білих куль. За формулою для ймовірності події в класичній моделі ймовірність отримання у вибірці т білих куль (тобто ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення т) дорівнює
В
, (1)
де C N n - Загальне число всіх єдино можливих, равновозможних і несумісних фіналів, C K m C N-K n-m - Число фіналів, що сприяють цікавого для нас події. p> Отже, ймовірність появи цікавить нас рівно т раз на n залежних випробуваннях обчислюється за формулою (1), яка задає значення гипергеометрического закону розподілу для т = 0, 1, 2, ..., n (табл. 1).
Таблиця 1. Гіпергеометричний закон розподілу
т
0
1
2
...
n
Р (X = m)
C K 0 C N-k n /
C N n
C K 1 C N-K n-1 /
C N n
C K 2 C N-K n-2 /
C N n
...
C K m C N-K 0 /
C N n
M (т) = nq, (2)
D (m) = nq (1-q) [1 - (N-1)/(N-1)], (3)
де q - частка одиниць з цікавлять нас ознакою в сукупності N, тобто q = K/N, а 1 - (n-1)/(N-1) називається поправкою для бесповторной вибірки.
Виробляє функція
Вище були розглянуті способи визначення ймовірності Р n, m для випадків, коли ймовірність події А у всіх n незалежних випробуваннях одна і та ж. На практиці доводиться зустрічатися і з такими випадками, коли ймовірність настання події А від випробування до випробування змінюється.
поліноміальний розподіл
Нагадаємо, що в биномиальное експерименті ми класифікуємо результати як успіхи і неуспіхи. Якщо узагальнити ситуацію, то наслідки можна класифікувати більш ніж за двома категоріями. Припустимо, є k категорій фіналів: В«купівля товару АВ», В«купівля товару ВВ», В«Купівля товару КВ». Позначимо Х 1 - число проданих одиниць товару A, Х 2 - число проданих одиниць товару В, ...., Х k - число проданих одиниць товару К. Ймовірнісний розподілення Х 1 , Х 2 , ..., Х k у вибірці обсягом n є поліноміальний розподіл з параметрами n і ймовірностями р 1 , р 2 , ..., р k , де р i <...
