/sub> - Ймовірність появи категорії i (р i = 1 - q i ), і вони залишаються незмінними від випробування до випробування і випробування незалежні.
Формула мультіномінального розподілу має такий вигляд:
P (Х 1 , Х 2 ., Х k ) = n!/(Х 1 ! Х 2 ! ... в€™ Х k !) в€™ р 1 x1 в€™ р 2 x2 В· ... в€™ р k xk . (4)
Геометричний розподіл
Розглянемо біноміальний експеримент із звичайними умовами. Нехай замість обчислення числа успіхів у незалежних випробуваннях випадкова величина визначає число випробувань до першого успіху. Така випадкова величина розподілена за законом геометричного розподілу. Ймовірності геометричного розподілу обчислюються за формулою
P (m) = pq m -1 , (5)
де т = 1, 2, 3, ...; p і q - біноміальні параметри. Математичне сподівання геометричного розподілу
M (m) = 1/p, (6)
а дисперсія Пѓ 2 = D (m) = q/p 2 . (7)
Наприклад, число деталей, які ми повинні відібрати дотого, як знайдемо першу дефектну деталь, є випадкова величина, розподілена по геометричному закону. У чому тут сенс математичного очікування? Якщо частка дефектних деталей дорівнює 0, 1, то цілком логічно, що в середньому ми будемо мати вибірки, що складаються з 10 деталей до тих пір, поки не зустрінемо дефектну деталь.
Безперервні випадкові величини
Неперервної випадкової величиною називають випадкову величину, яка може приймати будь-які значення на числовому інтервалі.
Приклади неперервних випадкових величин: вік студентів, довжина ступні ноги людини, маса деталі і т.д. Це положення відноситься до всіх випадковим величинам, вимірюваним на безперервній шкалі, таким як міри ваги, довжини, часу, температури, відстані. Вимірювання може бути проведене з точністю до якогось десяткового знака, але випадкова величина - теоретично безперервна величина. В економічному аналізі знаходять широке застосування відносні величини, різні індекси економічного стану, які також обчислюються з певною точністю, скажімо, до двох знаків після коми, хоча теоретично їх значення - неперервні випадкові величини.
У неперервної випадкової величини можливі значення заповнюють деякий інтервал (або сегмент) з кінцевими або нескінченними межами.
Закон розподілу неперервної випадкової величини можна задати у вигляді інтегральної функції розподілу, яка є найбільш загальною формою завдання закону розподілу випадкової величини, а також у вигляді диференціальної функції (плотностіраспределенія ймовірностей), яка використовується для опису розподілу ймовірностей тільки неперервної випадкової величини.
Функція розподілу (або інтегральна функція) F (x) - універсальна форма завдання закону розподілу випадкової величини. Для неперервної випадкової величини функція розподілу також визначає ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше фіксованого дійсного числа х, тобто
F (x) = F (X
При зміні х змінюються ймовірності Р (Х
Тепер можна дати більш точне визначення неперервної випадкової величини: випадкову величину називають безперервної, якщо її функція розподілу є безперервна, кусково-диференційована функція з безперервною похідної.
Функція розподілу є неотрицательная функція, укладена між 0 і 1, тобто 0 ≤ F (x) ≤ 1. p> Функція розподілу є неубутна функція, тобто F (x 2 ) ≥ F (x 1 ), якщо х 2 > х 1 . Тоді P (x 1 ≤ Х <х 2 ) = P (Х <х 2 ) - P (Х <х 1 ) = F (x 2 ) -
- F (x 1 ). p> Так як будь ймовірність є число невід'ємне, то P (x 1 ≤ Х <х 2 ) Ві 0, а отже, F (x 2 ) - F (x 1 ) ≥ 0і F (x 2 ) ≥ F (x 1 ). p> Слідство 1. Ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, укладену в інтервалі (О±, ОІ), дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі, тобто
P (О± ≤ Х <ОІ) = F (ОІ) - F (О±). (9)
Слідство 2. Ймовірність того, що безперервна випадкова величина X прийме одне певне значення, дорівнює нулю.
Р (Х = х 1 ) = 0. (10)
Відповідно до сказаного, рівність нулю ймовірності Р (Х = х 1 ) не завжди означає, що подія Х = х 1 неможливо. Говорячи про ймовірність події Х = х 1 , апріорно намагаються вгадати, яке значення прийме випадкова величина в досвіді.
Якщо х 1 лежить в області можливих значень не...
