лена рівняння. Для знаходження цілих рішень рівняння треба вибрати ті з дільників, які при підстановці в рівняння звертають його в тотожність. Так, наприклад, з чисел 1, -1, 2 і -2, представляють собою всі дільники вільного члена рівняння
,
тільки -1 є коренем. Отже це рівняння, має єдиний цілий корінь. Тим же методом легко показати, що рівняння
В
в цілих числах нерозв'язно.
Значно більший інтерес представляє рішення в цілих числах рівнянні з багатьма невідомими.
2. УРАВНЕНИЯ ПЕРШОЇ СТУПЕНЯ З ДВОМА НЕВІДОМИМИ
Розглянемо рівняння першого ступеня з двома невідомими
,
(3)
де і - цілі числа, відмінні від нуля, а - довільне ціле. Будемо вважати, що коефіцієнти і не мають спільних дільників, крім одиниці. Дійсно, якщо загальний найбільший дільник цих коефіцієнтів відмінний від одиниці, то справедливі рівності,В ; Рівняння (3) приймає вигляд
В
і може мати цілі рішення тільки в тому випадку, коли ділиться на. Таким чином, у разі - всі коефіцієнти рівняння (3) повинні ділитися без остачі на, і, скорочуючи (3) на, прийдемо до рівняння
,
коефіцієнти якого і взаємно прості.
Розглянемо спочатку випадок, коли. Рівняння (3) перепишеться так:
.
(3 ')
Вирішуючи це рівняння відносно, отримаємо
.
Ясно, що буде приймати цілі значення в тому і тільки в тому випадку, коли ділиться на без залишку. Але всяке ціле , кратне, можна записати у вигляді
,
де бере довільні цілі значення. Підставимо це значення в попереднє рівняння, тоді
,
і ми отримуємо формули, що містять всі цілі рішення рівняння (3 '):
,.
Перейдемо тепер до випадку.
Покажемо, насамперед, що для знаходження всіх цілих рішень рівняння (3) досить знайти яке-небудь одне його рішення, тобто знайти такі цілі числа,, для яких
,
Т е про р м а I . Нехай а і b взаємно прості і - якесь рішення рівняння
,
(3)
Тоді формули
