МЕХАНІКА СУЦІЛЬНИЙ СЕРЕДОВИЩА
ОСНОВНІ ЗАКОНИ механіки суцільних середовищ
1. Збереження маси. Рівняння нерозривності
Матеріальний континуум володіє властивістю, званим масою. Сумарна маса деякої частини суцільною середовища, що займає в момент t обсяг простору V, виражається інтегралом
(1.1)
де - безперервна функція координат, звана щільністю. Закон збереження маси, стверджує, що маса виділеної частини середовища залишається постійною і, отже, матеріальна похідна від (1.1) дорівнює нулю. Якщо у формулі (4.52) покласти P ' ij . (X, t ) ss р (х, 0, то отримаємо вираз для швидкості зміни маси т
(1.2)
Оскільки це рівність вірно для довільного обсягу V, підінтегральний вираз саме повинно звертатися в нуль, тобто
або (1.3)
Це рівняння називається рівнянням нерозривності (або безперервності). Розкриваючи оператор матеріальної похідної, його можна написати в іншого рівнозначного формі
, або (1.4)
У нестисливої вЂ‹вЂ‹ середовищі щільність маси кожної частки не залежить від часу, тобто, і рівняння (1.3) приймає вигляд
, або. (1.5)
Поле швидкості в нестисливої вЂ‹вЂ‹середовищі можна тому представити виразом
або, (1.6)
де функція називається векторним потенціалом .
Рівняння нерозривності можна записувати в лагранжевой, або матеріальної, формі. Для збереження маси потрібно, щоб виконувалася рівняння
. (1.7)
Тут обидва інтеграла взяті з одним і тим же часткам, тобто V - це обсяг, який тепер займає середу, заповнювала в момент t = 0 обсяг . Використовуючи (4.1) і (4.38), інтеграл у правій частині (1.7) можна перетворити наступним чином:
(1.8)
Співвідношення (1.8) повинно мати силу для довільно обраного обсягу, і тому
(1.9)
Це означає, що твір не залежить від часу, так як обсяг V довільний, тобто що
(1.10)
Рівняння (1.10) є лагранжевой диференціальної формою рівняння нерозривності.
2. Теорема про зміну кількості руху. Рівняння руху
Рівняння рівноваги
На рис. 2.1 зображений рухомий обсяг суцільного середовища V в момент t. На нього діють масові сили з щільністю розподілу. На кожному нескінченно малому елементі поверхні, що обмежує розглянутий обсяг, діє вектор напруги. У всій області, зайнятої середовищем, визначено поле швидкостей . Загальне кількість руху системи мас, що заповнюють обсяг V, визначається інтегралом
. (2.1)
Грунтуючись на другому законі Ньютона, теорема про зміну кількості руху стверджує, що швидкість зміни з часом кількості руху деякої частини континууму дорівнює результуючій сил, що діють на розглянуту область. Якщо внутрішні сили, що діють між частинками даного обсягу (рис. 2.1), підпорядковуються третьому закону Ньютона про дію та протидію, то теорема про зміну кількості руху для цієї системи мас виражається рівнянням
,
або (2.2)
.
Після підстановки в перший інтеграл і перетворення інтеграла по поверхні в інтеграл за об'ємом (згідно теоремі Гаусса - Остроградського) це рівняння прийме вигляд
В
або (2.3)
В
Розпишемо матеріальну похідну правій частині (2.3) і скористаємося рівнянням нерозривності у формі (1.10). Це дасть
. (2.4)
Підстановка цього виразу в праву частина (2.3) і об'єднання членів призводять до інтегральної формі теореми про зміні кількості руху:
В
або (2.5)
В
Так як обсяг V довільний, саме підінтегральний вираз (2.5) має звертатися в нуль. Отримані таким чином рівняння
, або (2.6)
називаються рівняннями руху.
Для випадку рівноваги, коли відсутні прискорення, з (2.6) виходять рівняння, звані у Рівняння рівноваги
, або (2.7)
3. Теорема про зміну моменту кількості руху
Будемо припускати, що момент кількості руху для суцільного середовища дорівнює моменту вектора кількості руху щодо якої точки. Так, для частини континууму, що на рис. 2.1, повний момент кількості руху відносно початку координат по визначенню дорівнює інтегралу
, або , (3.1)
де - радіус-вектор елемента обсягу dV. Теорема про зміну моменту кількості руху стверджує, що швидкість зміни моменту кількості руху довільно вибраної частини континууму щодо будь-якої точки дорівнює головному моменту ...
