Математична модель процесу витяжки трубчастої заготов ки
В
1. Варіаційні підходи до вирішення завдань методом кінцевого елемента
Основна ідея МСЕ грунтується на заміні деякої безперервної величини в межах розглянутій області дискретної моделлю, яка будується на безлічі кусково-неперервних функцій, визначених на кінцевому числі підобластей, званих кінцевими елементами (КЕ). Невідома шукана величина в межах кожного КЕ апроксимується, як правило, поліноміальної функцією заданого виду з урахуванням вимоги безперервності на кордонах суміжних КЕ. При цьому вибір форми кінцевого елементу та виду вирази, аппроксимирующего дійсний закон зміни досліджуваної величини в межах СЕ, є одним з найбільш відповідальних моментів у загальній процедурі МСЕ, від якого істотно залежить точність наближеного рішення. Таким чином, безперервна в межах досліджуваної області невідома величина (наприклад, переміщення, швидкість переміщення, напруга, температура і т. д.) представляється через кінцеве число її дискретних значень у вузлах елементів.
Побудова дозвільних рівнянь МКЕ для вирішення задач механіки деформівних середовищ базується на відповідних варіаційних принципах і випливає з оптимізації деякої інтегральної величини (функціонала), пов'язаної з роботою або потужністю напруг і зовнішньої прикладеного навантаження при дотриманні заданих граничних умов. У загальному вигляді такий функціонал з урахуванням дії масових і поверхневих сил можна представити виразом:
, (1)
де A Д - Робота або потужність внутрішніх сил; A М - робота або потужність, що розвивається масовими силами; A В - робота або потужність зовнішніх сил. p> Подальша процедура МКЕ передбачає подання виразу (2.1) у вигляді функціоналу значень, невідомих тільки у вузлах СЕ, і побудова роздільної системи рівнянь шляхом мінімізації J по всіх вузловим змінним:
(2)
Однак, зазначений спосіб отримання дозвільних рівнянь для КЕ за допомогою функціоналу (1) не є єдино можливим. В даний час рівняння для елементів отримують шляхом мінімізації функціоналу, пов'язаного з даним диференціальним рівнянням відповідної задачі математичної фізики. Відомі також кінцево-елементні рішення, засновані на методі Гальоркіна. У останньому випадку відпадає необхідність у варіаційної формулюванні завдання.
Спосіб отримання дозвільних рівнянь для КЕ, заснований на оптимізації функціонала (1), є загальновизнаним при теоретичному вирішенні завдань ОМД, оскільки варіаційні принципи мають наочний фізичний зміст і досить суворе математичне обгрунтування.
По відношенню до функціоналу (1) відомі три види варіаційних принципів теорії пластичності в Залежно від того, через які змінні величини виражена потужність (Потенційна енергія) деформації. p> Принцип мінімуму повної потужності (повної енергії) або принцип можливих змін деформованого стану розглядає потужність (потенційну енергію) тіла, що деформується як функціонал довільної системи швидкостей (Переміщень), що задовольняє кинематическим граничним умовам, і який приймає мінімальне значення для системи швидкостей (переміщень), фактично реалізованої в деформується тілі.
Принцип мінімуму додаткової роботи Кастільяно або принцип можливих змін напруженого стану розглядає додаткову роботу як функціонал довільної системи напруг, що задовольняє рівнянням рівноваги всередині тіла і на його поверхні, і який приймає мінімальне значення для системи напруг, фактично реалізованої в деформується тілі.
У варіаційному принципі Рейсснера або принципі можливих змін напруженого і деформованого станів потужність (енергія) розглядається як функціонал швидкостей і напруг, і змінні тієї й іншої групи варіюються незалежно один від одного.
Кожному з перерахованих варіаційних принципів відповідає певна форма МСЕ. Принципу мінімуму повної потужності (повної енергії) відповідає кінематичний метод, принципом мінімуму додаткової роботи - метод напруг, а вариационному принципом Рейсснера - змішаний метод.
При навантаженні тіла потенційна енергія зовнішніх сил змінюється. При цьому зовнішні сили здійснюють роботу. Потенціал зовнішніх сил Q на можливих переміщеннях Оґu чисельно дорівнює роботі цих сил:
(3)
де P i - поверхневі сили, S - площа поверхні тіла.
У результаті зміни потенційної енергії зовнішніх сил тіло деформується і накопичує потенційну енергію деформації W
(4)
де s ij - компоненти тензора напруги, e ij - компоненти тензора деформації, V - об'єм тіла.
Сума енергії деформації та потенціалу зовнішніх сил дорівнює повній потенційної енергії:
(5)
Відповідно з принц...
