ипом можливих переміщень Лагранжа зміну повної потенційної енергії на можливих переміщеннях дорівнює нулю:
(6)
При цьому під можливими переміщеннями du розуміються як завгодно малі відхилення системи від положення рівноваги, що допускаються накладеними на систему зв'язками. З рівняння (6) випливає, що в стані рівноваги енергія П має стаціонарне значення. Можна показати, що в положенні стійкої рівноваги цей екстремум відповідає мінімуму.
З урахуванням викладеного варіаційне рівняння Лагранжа для статичної задачі має вигляд:
(7)
Мінімізуючи потенційну енергію по можливих переміщень, отримуємо систему лінійних рівнянь, розв'язуючи яку визначаємо значення зовнішніх сил.
В
2. Основні співвідношення методу скінченних елементів
Найпростішим елементом, застосовуваним для вирішення осесиметричної задачі механіки деформованого твердого тіла, є тороїдальний елемент з трьома вузлами, розташованими у вершинах трикутного перетину (Мал. 1.). br/>В
Рис . 1 . Кінцевий елемент в задачі осесиметричної деформації
Вектор переміщень вузлових точок кінцевого елемента в разі осесиметричної деформації має вигляд:
. (8)
Довільна точка елемента отримує переміщення u r і u z у напрямку осей r і z . Тому матриця u має вигляд:
. (9)
Вузлові переміщення і u пов'язані між собою матрицею апроксимуючих функцій N :
(9 ')
Найбільш поширений спосіб отримання наближених рішень на основі використання варіаційного рівняння за методом Релея - Рітца. Він полягає в тому, що функції переміщень задаються у вигляді інтерполяційного полінома. Якщо обмежитися поліномом першого ступеня, то ці функції будуть мати вигляд:
(10)
Тут a i - довільні постійні. При лінійної апроксимації сторони трикутника після деформування елемента залишаються прямими.
Висловимо a i через переміщення вузлів елемента. В результаті матриця N прийме вигляд:
(11)
S - площа перерізу елемента:
, (12)
де r i , z i - координати i -го вузла у відповідних осях.
Деформоване стан в будь-якій точці тіла описується тензором малих деформації Коші:
(13)
В умовах осесиметричної задачі тензор деформації другого рангу зводиться до вектора:
(14)
компоненти якого виражаються через похідні переміщень по відповідним координатами:
. (15)
Зв'язок між складовими векторів деформації і переміщень можна представити одним матричним рівністю:
(16)
де B - матричний диференційний оператор:
. (17)
Використовуючи (16) і (17), можна виразити деформації через вузлові переміщення
. (18)
Матриця функцій форми C для осесиметричної деформації:
. (19)
Коефіцієнти матриці C залежать від координат r і z точки всередині елемента. Для трикутника з вузлами в вершинах координати r і z можна замінити середніми по елементу значеннями:
(20)
Вектор напруг s має вигляд:
(21)
Висловимо з допомогою лінійного закону, що виражається матрицею жорсткості, напруги через вузлові переміщення
, (21 ')
де D - матриця матеріальних констант.
Потенційна енергія деформації елемента з урахуванням (20) і (19)
. (22)
Інтеграл у вираженні (2.22) є матриця жорсткості обраного елемента
, (23)
Елементарний обсяг. Тому матриця жорсткості елемента записується таким чином:
, (24)
де S - площа елемента.
З урахуванням пророблених перетворень рівняння рівноваги елемента через вузлові переміщення виражається у формі:
(25)
де K - матриця жорсткості; P , - вектори зовнішніх сил і вузлових переміщень, відповідно.
При наявності пружних і пластичних деформації зв'язок між напруженнями і деформаціями нелінійна. Рішення нелінійної системи рівнянь дуже занадто. Тому при використанні деформаційної теорії часто використовують кусково-лінійний закон зв'язку напруг і деформації. Тоді при вирішенні завдання в збільшеннях напруг D s і деформації D e , зв'язок між якими можна вважати лінійної, отримуємо систему лінійних рівнянь:
(26)
Одним з способів вирішення завдання в збільшеннях є метод послідовних нагружений. Для квазистатич...
