Контрольна робота з вищої математики
Ситуаційна (практична) завдання № 1
Написати три перших члена степеневого ряду за заданим загальним члену, знайти інтервал збіжності ряду і дослідити його збіжність на кінцях цього інтервалу.
Рішення.
Підставивши послідовно, запишемо даний ряд у вигляді:
В
Так як серед коефіцієнтів ряду немає коефіцієнтів рівних нулю, знаходимо радіус збіжності ряду за формулою
, де,
В
Отже, ряд сходиться при
Досліджуємо збіжність ряду на кінцях отриманого інтервалу.
При даний ряд приймає вигляд. Порівняємо ряд з гармонійним поруч. Застосуємо другий ознака порівняння. <В
Так як отриманий межа кінцевий і не дорівнює нулю, а гармонійний ряд розходиться, то ряд також розходиться по другому ознакою порівняння позитивних рядів.
При даний ряд приймає вигляд. p> Останній ряд є Знакозмінні поруч. За ознакою Лейбніца знакозмінний ряд сходиться, якщо виконуються дві умови:
. 2. p>, тобто <В
Виконуються дві умови збіжності Знакозмінні ряду, тобто за ознакою Лейбніца ряд сходиться. Але знакозмінний ряд сходиться умовно, так як розходиться ряд, складений з абсолютних величин цього ряду. p> Відповідь. Область збіжності даного ряду
Ситуаційна (практична) задача № 2
Знайти рішення диференціального рівняння і приватне рішення, що задовольняє початковій умові
Рішення.
Дано диференціальне рівняння 1 порядку. Вирішуємо його за методом Бернуллі. p> Замінимо функцію твором двох невідомих функцій і, покладемо. Тоді. Підстановка і в рівняння дає. p> Перетворимо це рівняння:
Покладемо, і тоді при будь-якому значенні. З рівняння знаходимо:
В В
При знайденому значенні лінійне рівняння приймає вигляд:. Підставляємо значення в рівняння, отримаємо
В В
Знаючи, що і, знаходимо
В
Перевірка.
,
Підставимо значення і у задане рівняння
В В
Отримали тотожність, отже, знайдене рішення рівняння правильно.
Знаходимо приватне рішення при.
В
- приватне рішення при
Відповідь: - спільне рішення рівняння.
- приватне рішення при
Тестові завдання
1. Застосовуючи таблицю інтегралів і метод заміни змінних, знайти невизначений інтеграл
А. , Б., В., Г.. br/>
Відповідь. А.
. Застосовуючи метод інтегрування частинами, знайти невизначений інтеграл
А., Б.,
В. Г.
Відповідь. А.
. Застосовуючи метод інтегрування раціональних алгебраїчних функцій, знайти невизначений інтеграл
А. , Б.
В. Г.
невизначений інтеграл диференційний
Відповідь. Г.
. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій
,.
А. 3/2; Б. 125/6; В. 9/2; Г. 9
Відповідь. В. 9/2
. Обчислити
А. , Б., В., Г.
Відповідь. В.
6. Виберіть сходитися ряд
А. , Б., В., Г.
Відповідь. А.,
7. Виберіть абсолютно сходиться ряд. br/>
А. , Б., В., Г.
Відповідь. Г.
. У точці ряд
А. розходиться, Б. сходиться абсолютно, В. сходиться умовно, Р. може, як сходитися, так і розходитися.
Відповідь. А. розходиться
. При якому значенні параметра функція є рішенням рівняння
А. , Б., В., Г.
Відповідь. А.
. Знайти рішення рівняння
А. , Б., В., Г.. p> Відповідь. А.
