Нелінійні багатохвильові взаємодії в пружних системах
На основі закону збереження енергії пропонується фізична інтерпретація властивостей рішень еволюційних рівнянь, що описують амплітудно-фазову модуляцію нелінійних хвиль. Наводиться алгоритм приведення диференціальних рівнянь, що описують нелінійні багатохвильові процеси в розподілених механічних системах, до нормальної форми. Вивчаються питання виникнення резонансу.
Solutions to the evolution equations describing the phase and amplitude modulation of nonlinear waves are physically interpreted basing on the law of energy conservation. An algorithm reducing the governing nonlinear partial differential equations to their normal form is proposed. The occurrence of resonance at the expense of nonlinear multi-wave coupling is discussed.
Введення
Принципи нелінійних багатохвильових взаємодій були вперше визнані приблизно два століття тому, завдяки експериментальним і теоретичним роботам Фарадея (1831), Мельде (1859), Релея (1883, 1887). Непоганий історичний огляд цієї теми може бути знайдений в роботі [1], так що необхідні лише тільки кілька вступних зауважень. До першої світової війни подібні ідеї втілювалися в радіотелефонних пристроях. Після другої світової війни з'явилося безліч нових додатків в техніці та технологіях, включаючи високочастотну електроніку, нелінійну оптику, океанологию, фізику плазми і т.д. Сьогодні теорія нелінійних багатохвильових взаємодій, стосовно до механічних системам, розвинена не в тій мірі, щоб знайти вже зараз своє гідне застосування на практиці.
У роботі представлена ​​спроба об'єднання та узагальнення тематичної інформації на основі вже досить відомих, але розрізнених фактів. На основі закону збереження енергії пропонується фізична інтерпретація властивостей рішень еволюційних рівнянь, опісиваюціх амплітудно-фазову модуляцію нелінійних хвиль. Наводиться алгоритм приведення диференціальних рівнянь, що описують нелінійні багатохвильові процеси в розподілених механічних системах, до нормальної форми. Вивчаються питання виникнення резонансу в нелінійних багатохвильових системах.
Еволюційні рівняння
Поширення слабонелінейних хвиль у пружних середовищах зазвичай описується квазілінійного диференціальними рівняннями з приватними похідними
,
де і - лінійні диференціальні матричні оператори, що характеризують інерційні та пружні властивості системи, тобто ; - Вектор нелінійних величин; - малий параметр завдання, що характеризує міру нелінійності [1]. У будь-який момент часу шукані змінні системи відносяться до просторових координатах. p> Нехай закон руху системи визначається функцією Лагранжа. Нехай при існує вироджений лагранжіан, що виробляє лінеаризовані рівняння руху. Нехай рішення останніх "породжують" рівнянь представляється суперпозицією нормальних гармонійних...
