ПГУ ім. Т.Г. Шевченко
Курсова робота
Види нелінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку
Виконав:
студент 211 групи
спеціальністю «ІКТіСС»
Бірт Ігор Андрійович
Тирасполь 2014
ВСТУП
Диференціальне рівняння - рівняння, що зв'язує значення деякої невідомої функції в деякій точці і значення її похідних різних порядків в тій же точці. Диференціальне рівняння містить у своєму записі невідому функцію, її похідні і незалежні змінні; проте не будь-яке рівняння, що містить похідні невідомої функції, є диференціальним рівнянням.
Порядок диференціального рівняння - найбільший порядок похідних, що входять до нього.
Процес рішення диференціального рівняння називається інтегруванням.
Всі диференціальні рівняння можна розділити на лінійні і не лінійні.
Нелінійне диференціальне рівняння - диференціальне рівняння (звичайне або з приватними похідними), в яке принаймні одна з похідних невідомої функції (включаючи і похідну нульового порядку - саму невідому функцію) входить нелінійно.
Іноді під Н.Д.У. розуміється найбільш загальне рівняння певного виду. Напр., Нелінейнимобикновенним диференціальним рівнянням 1-го порядку наз. рівняння з довільною функцією при цьому лінійне звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку відповідає приватному нагоди
Н. д. у. з приватними похідними 1-го порядку для невідомої функції z від незалежних змінних має вигляд:
де F- довільна функція своїх аргументів;
Види нелінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку
Рівняння з розділеними змінними
П1.
Загальний інтеграл
П2.
Загальний інтеграл
Рівняння в повних диференціалах
Де
Існує така функція u (x, y), що
Загальний інтеграл рівняння в повних диференціалах u (x, y)=C.
Функція u може бути представлена ??у вигляді
Однорідне рівняння
де P (x, y), Q (x, y) - однорідні функції однієї і тієї ж ступеня
.
Підстановка y=ux, dy=xdu + udx переводить однорідне рівняння в лінійне щодо функції u:
Рівняння виду
. Якщо прямі і перетинаються в точці (x0; y0), то заміна приводить його до однорідному рівнянню
. Якщо прямі і паралельні, то заміна приводить до рівняння із перемінними
Рівняння Бернуллі
Підстановкою зводиться до лінійного
рівняння ріккаті
Якщо відомо якесь із рішень, то рівняння зводиться до
лінійному підстановкою.
Рівняння Лагранжа
Диференціюючи по x і вважаючи y '= p, приходимо до лінійного рівняння щодо x як функції p:
Рівняння Клеро
- окремий випадок рівняння Лагранжа.
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА.
Рівняння Риккати
Вирішити диференціальне рівняння
'= y + y2 + 1.
Рішення.
Дане рівняння є найпростішим рівнянням Риккати з постійними коефіцієнтами. Змінні x, y тут легко розділяються, так що загальний розв'язок рівняння визначається в наступному вигляді:
диференційний рівняння рішення Бернуллі
Вирішити рівняння Риккати
Рішення
Будемо шукати приватне рішення у формі:
Підставляючи це в рівняння, знаходимо:
Отримуємо квадратне рівняння для c:
Ми можемо вибрати будь-яке значення c. Наприклад, нехай c=2. Тепер, коли приватне ріш...
