хвиль:
.
Тут - комплексні амплітуди хвиль [2]; - ​​швидко обертові хвильові фази; символ позначає комплексно зв'язані доданки. Власні частоти і відповідні хвильові вектори пов'язані дисперсійним співвідношенням.
При малих значеннях рішення нелінійних рівнянь можна формально представити в тій же самій формі, що і в лінійному випадку, якщо не вважати малих просторово-часових варіацій амплітуд хвиль. Фізично, спектральне опис в нових координатах, замість польових змінних, пов'язане з виникненням нових просторово-часових масштабів і, відповідно, з поділом рухів на швидкі і повільні.
У справжній замітці переважно будуть вивчатися лагранжевого нелінійні динамічні системи.
Щоб ясніше зрозуміти сутність еволюційних рівнянь, вводиться функція Гамільтона, де. Далі розглядається вироджений гамільтоніан системи. Звідси випливає, що амплітуди лінеаризованих рішення, представляють собою константи інтеграції при, повинні задовольняти наступному співвідношенню
,
де - дужка Лі-Пуассона з слушно певними функціональними похідними. У свою чергу, при, комплексні амплітуди є повільно мінливими функціями, так що. Це означає, що
(1) і,
де різницю можна інтерпретувати як "вільну енергію" системи. Таким чином, якщо скаляр, то нелінійна "динамічна структура" повинна виникати спонтанно, навпаки, при системі потрібна деяка порція енергії для організації структури, в той час як випадок представляється прикордонним між цими двома станами. Зауважимо, що систему (1) можна формально переписати у вигляді
(2),
де - векторна функція, одним з формальних аргументів якої, а саме, є операція диференціювання по просторових координатах. У полярних координатах рівняння (2) наводяться до стандартної форми
(3);,
де. У більшості випадків векторна функція представляється поруч по малому параметру, що дозволяє застосовувати відомі асимптотичні методи дослідження.
Нормальна форма рівнянь
Розглядається натуральна [3] квазілінійну механічна система, рух якої характеризується лагранжевого рівняннями, представленими в квазінормальной матричної формі [2]
(4) і
з відповідними граничними і початковими умовами. Тут позначає комплексний-мірний вектор рішення (- матриця лінійного нормалізуючого перетворення шуканих змінних, - одинична матриця); - діагональна матриця диференціальних операторів з власними значеннями, де - просторовий диференційний оператор (Очевидно [4], що); - Мірний вектор нелінійності, представлений поруч по, тобто
,
де - однорідні векторні поліноми ступеня, наприклад
В
Тут і - деякі задані диференціальні оператори.
Поряд з системою (4) розглядається відповідна лінеаризованих підсистема
(5) і,
аналітичне рішення якої, задоволь...
