Після заміни маємо
В
За табличних значень функції Лапласа Ф * (z) знаходимо аргумент, при якому вона дорівнює b. Якщо цей аргумент позначити Z b , то тоді
В
Середнє квадратичне значення наближено можна замінити
де
Таким чином, довірчий інтервал для середнього генерального дорівнює:
l e =
Якщо користуватися табличними значеннями інтеграла ймовірностей
В
то довірчий інтервал приймає вигляд
l e =
1.2 Розподіл Стьюдента
При малому обсязі вибірки (N <30) отриманий довірчий інтервал для середнього генерального, що використовує нормальний розподіл випадкової величини, може бути дуже грубим.
Для більш точного отримання довірчого інтервалу необхідно знати закон розподілу випадкової величини при малому обсязі вибірки. Для цього скористаємося наступним результатом. Нехай Х 1 , Х 2 , ... , Х n - вибірка нормально розподіленої випадкової величини Х, тоді, як доведено, випадкова величина
В
підпорядковується розподілу Стьюдента c n - 1 ступенем свободи, щільність розподілу якого має вид
В
де - гамма функція. Ця щільність, як видно з формули, залежить тільки від числа дослідів n. Нижче представлені графіки щільностей нормованої (m x = 0, s = 1) нормально розподіленої і з розподілом Стьюдента (n = 4) випадкових величин.
В
нормальний розподіл
f В
розподілення Стьдента
0,4
0,3
0,2
0,1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t
На підставі знайдених можна, користуючись розподілом Стьюдента, знайти довірчий інтервал для m x , відповідний довірчій ймовірності b. Дійсно, так як то
В В
Користуючись таблицею значень інтеграла
В
за значенням b знайдемо величину а отже, і сам довірчий інтервал l e =
В
2. Перевірка статистичних гіпотез
Прийняття рішення про параметрах генеральної сукупності грає виключно важливу роль на практиці. Розглянемо питання про прийняття рішення на прикладі. Нехай фірма, що випускає конденсатори, стверджує, що середнє пробивна напруга конденсаторів одно або перевищує 300 В. Випробувавши 100 конденсаторів, ми отримали, що середнє вибіркове пробивна напруга одно 290 В, а незміщене вибіркове середнє квадратичне відхилення s n = 40 В. Чи можна з довірчою ймовірністю 0,99 стверджувати, що середнє пробивна напруга перевищує 300 В. ...
