МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державні освітні установи
ВИЩОЇ ОСВІТИ
ТУЛЬСКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
Курсова робота
З ДИСЦИПЛІНИ В«Варіаційні принципи механікиВ»
Виконав:
Перевірив:
Тула 2012
Варіаційна формулювання першого початку термодинаміки
Перейдемо до розгляду варіаційного рівняння в механіці суцільного середовища. У дійсному процесі рівняння першого початку термодинаміки має вигляд
(1)
де E - енергія системи, dA (e) - робота зовнішніх макроскопічних сил, dQ - приплив тепла і всіх інших видів енергії.
Якщо замінити в (1) символ прирощення в дійсному процесі d на довільне припустиме прирощення, то рівність (1), взагалі кажучи, не матиме місця. Позначаючи через відповідну "невязку", можна написати
(2)
Функціонал звертається в нуль на дійсних варіаціях.
Якщо функціонали E,, та визначено, то рівняння (2) перетворюється на варіаційне рівняння, що виражає перший початок термодинаміки для можливих збільшень визначальних функцій. Функціонал є за умовою варіація функціонала E. Функціонал також визначається просто. Звичайно є лінійний функціонал від збільшень визначальних функцій, тому під слід розуміти значення функціоналу на полях. p> Нехай dQ - приплив тепла. Для введення функціоналу розглянемо визначення, засноване на рівнянні другого початку термодинаміки
(3)
де dQ `- некомпенсоване тепло. Для класичних моделей dQ `є лінійний функціонал по приращениям визначальних параметрів. Тому приплив тепла у формі (3) також представляє лінійний функціонал по. Отже, приплив тепла на будь-якому допустимому процесі можна визначити як значення цього лінійного функціоналу на і
(4)
Варіаційне рівняння першого початку термодинаміки прийме форму
(5)
Підкреслимо, що в варіаційної формулюванні першого початку термодинаміки (5) використано другий початок термодинаміки у вигляді (4).
Варіаційне рівняння Сєдова
У варіаційному рівнянні (5) не всі величини можна задавати незалежно - задається лише частина з них, а інші визначаються. Виділимо явно задаються і визначаються величини. Для визначеності покладемо
В
Крім того, уявімо роботу зовнішніх сил у вигляді суми робіт об'ємних і поверхневих сил:
В
Тоді варіаційне рівняння можна переписати таким чином:
В
Проинтегрируем це рівність по деякому довільному відрізку [t0, t1]
Вводячи...
