Зміст
Безперервна залежність рішень від початкових даних і параметрів
. Диференціальне рівняння з початковими даними
. Властивості граничних множин автономних систем
. Наближене рішення диференціальних рівнянь
Список використаних джерел
Безперервна залежність рішень від початкових даних і параметрів
диференціальне рівняння безліч
1. Диференціальне рівняння з початковими даними
Розглянемо диференціальне рівняння, залежне від параметра:
В
де f:, область. Припустимо, що в області задовольняє умові Ліпшиця по x локально:
.
За теоремою (існування та єдиності) G = область єдиності для системи при кожному фіксованому?. Розглянемо функцію рішення системи з початковими даними визначену на множині
В
де максимальний інтервал існування.
Теорема 1. При зроблених припущеннях область і неперервна в. p> Д про до а із а т е л ь с т в о. Насамперед покажемо, що зв'язно. Нехай,. Побудуємо шлях?, Що лежить в і з'єднує і. З визначення випливає, що за. Крім того, так як за змістом поняття максимального інтервалу існування, то безліч
В
область гіперплощини, що лежить в. Звідси отримуємо наступний спосіб побудови?: Точки і з'єднуємо відрізками прямих з точками і відповідно, а ці останні крапки з'єднуємо будь-яким шляхом, лежачим в. p> Тепер потрібно довести, що існує таке, що якщо, то і її околиця також належить і неперервна в. Нехай рішення з початковими даними, відповідне. За визначенням вона напевне прі. Утворюємо при і при. Продовжуючи було визначено на. p> Звідси випливає, що достатньо довести наступне твердження, рівносильне теоремі 1.
Теорема. Нехай у припущеннях теореми 1 диференціальне рівняння має рішення, визначене на відрізку. Тоді існує таке, що рішення при:
В
визначено прі і функція неперервна на множині
Д про до а із а т е л ь с т в о. Виберемо і зафіксуємо настільки мале, щоб замкнута область
В
належала. Оскільки компакт в силу леми f задовольняє на умові Ліпшиця по (глобально) з деякою постійною Ліпшиця L. Далі, так як f неперервна в області, то вона рівномірно неперервна на. Отже, будь-якому відповідає безліч чисел, що мають властивість
В В
Нехай тепер задовольняє нерівності
В
а будь-яке число з безлічі таке, що
В
Покажемо, що вибране таким чином шукане. Нехай Рішення будемо будувати методом послідовних наближень Пікара. За нульове наближення візьмемо
В
-e наближення визначається рекурентним співвідношення
В
Лемма 1. При всіх послідовні наближення, що визначаються формулами,, володіють наступними властивостями:
1) безперервна функція.
)
)
Лемму 1 дове...
