ustify"> (при х ? 0), приходимо до рівності. Інтегруючи, отримаємо
(a)
або
+, (б)
(так як інтеграл в лівій частині (а) табличний, а інтеграл у правій частині може бути знайдений, наприклад, заміною= t ,, 2ydy=2tdt і.
Рішення (б) перепишемо у вигляді x=± або x=C , де C=± .
2. Неповні диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння першого порядку (1.1) називається неповним, якщо функція f явно залежить тільки від однієї змінної: або від х, або від у.
Розрізняють два випадки такої залежності.
. Нехай функція f залежить тільки від х. Переписавши це рівняння у вигляді
, (2.1)
неважко переконатися, що його рішенням є функція
.
2. Нехай функція f залежить тільки від у, тобто рівняння (1.1) має вигляд
. (2.2)
Диференціальне рівняння такого виду називається автономним. Такі рівняння часто вживані в практиці математичного моделювання та дослідження природних і фізичних процесів, коли, наприклад, незалежна змінна х грає роль часу, що не входить в співвідношення, що описують закони природи. У цьому випадку особливий інтерес представляють так звані точки рівноваги, або стаціонарні точки - нулі функції f ( у ), де похідна у '= 0 .
Рішення рівняння (2.2) методом розділення змінних призводить до функціонального рівняння для визначення невідомої функції у=? ( x ) (або х= ? ( у)) :
. (2.3)
Приклад 2
Вирішити рівняння:. (2.4)
Рішення. Знайдемо рішення у вигляді x=x (y). Вважаючи, що y? 0 з (2.3) і (2.4), отримуємо і, (2.5)
звідки і. Вважаючи, що довільна постійна, отримаємо. (Зауважимо, що отримане спільне рішення рівняння при C=0 дає приватне рішення y=0, «втрачене» в процесі перетворень) .
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Рівняння виду
, (3.1)
де р (х) і q (x) - безперервні функції, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Невідома функція і її похідна входять в зазначений...
