Постановка завдання
Опис моделі
модель описується системою диференціальних рівнянь другого порядку;
задається область визначення значень змінних у вигляді системи нерівностей:
Дослідження стаціонарних точок
в заданій області значень змінних визначаються стаціонарні точки системи шляхом рішення системи алгебраїчних рівнянь:
виконується лінеаризація системи рівнянь в стаціонарних точках.
Точки класифікуються шляхом знаходження власних значень матриці (якобіана) линеаризованной системи. Можливі шість типів точок.
Позначення:
- власні значення якобіана ().
Стійкий вузол:
Власні значення дійсні (уявна частина дорівнює нулю), менші нуля:
Нестійкий вузол:
Власні значення дійсні, великі нуля:
Стійкий фокус:
Власні значення комплексно-зв'язані, дійсна частина менше нуля:
Нестійкий фокус:
Власні значення комплексно-зв'язані, дійсна частина більше нуля:
" Центр :
Власні значення комплексно-зв'язані, дійсна частина дорівнює нулю:
" Сідло :
Власні значення дійсні, з різними знаками:
Побудова фазових траєкторій
Фазові траєкторії (портрети) будуються в околицях стаціонарних точок за допомогою методу чисельного інтегрування.
Практична реалізація завдання
Завдання реалізована в середовищі системи Тополог.
Опис моделі
Опис системи рівнянь виконується з використанням стандартних типів системи Тополог: функція і вектор. У вигляді функції описується тільки права частина рівняння.
Приклад: нехай ми маємо систему з двох нелінійних рівнянь виду:
тоді опис даної системи на мові системи Тополог буде виглядати наступним чином:
дані
x: вещ
y: вещ
F1: функція (x, y)=x ^ 2/100 + y ^ 2/25 - 1
F2: функція (x, y)=y - 10 * Sin (X)
VF: вектор=(F1, F2) |
J: якобиан (VF)
Дослідження стаціонарних точок
Рішення системи рівнянь в заданій прямокутній області виконується стандартним операційним блоком системи Найті_Все_Решенія . Він має наступний синтаксис:
Найті_Все_Решенія (<вектор функцій>, <похибка>,
<межа 1>, <межа 2>, <межа 3>, <межа 4>,
<крок сітки>, <масив рішень>)
Рішення шукаються шляхом запуску методу Ньютона з вузлів сітки, накладеної на прямокутну область пошуку, та накопичення знайдених різних рішень. Прямокутна область пошуку задається параметрами: <межа 1>, <межа 2>, <межа 3>, <межа 4>. Крок сітки рівномірний по обох координатах і задається парам...
