етром <крок сітки>. Після завершення роботи блоку всі рішення скупчуються в масиві точок, описаним як:
Рішення: масив з Точка_вещ
Якщо при пошуку рішення з деякого вузла сітки метод виходить за кордон прямокутної області або якобиан системи рівнянь на поточному ітерації стає невизначеним, то ітерації припиняються і метод запускається з наступного по черзі вузла.
Для отримання власних значень якобіана системи в знайдених стаціонарних точках використовується стандартний операційний блок системи Тополог Собственние_Значенія . Він має наступний синтаксис:
Собственние_Значенія (<матриця>,
<максимальне число ітерацій>, <похибка>) ->
(<масив реальних частин>,
<масив уявних частин>)
На виході даний блок формує два масиви, що містять реальні та уявні частини власних значень квадратної матриці (в нашому випадку якобіана).
Чисельні методи знаходження власних значень матриць діляться на два типи: прямі та ітераційні. Прямі методи знаходять власні значення шляхом вирішення характеристичного рівняння матриці за допомогою одного з чисельних методів (метод Ньютона (дотичних), метод січних, метод хорд та ін.) Ітераційні методи за допомогою перетворень, які не змінюють власних значень матриці, приводять її до діагонального (у разі дійсних власних значень) або блочно-діагонального (за наявності комплексно-сполучених власних значень) виду. Значення з діагоналі отриманої матриці і є власними значеннями вихідної матриці.
В основу блоку Собственние_Значенія закладено ітераційний метод знаходження власних значень за методом Якобі з пониженням норми для дійсних матриць.
Основна суть методу Якобі:
Нехай задана дійсна матриця розміру і матриця (або) формується як послідовність перетворень. При певному виборі матриця буде діагональної з елементами, рівними власним значенням вихідної матриці (і представляють відповідно праву і ліву систему власних векторів).
Для реалізації такого перетворення матриці можна вибирати у вигляді добутку двох матриць, де матриця визначає так зване обертання, а - зрушення або комплексне обертання. Елементи цих двох матриць задовольняють співвідношенням:
Пари індексів (,) вибираємо на кожному кроці ітерації шляхом циклічного перебору. Параметр обертання можна визначити з співвідношення, причому потрібно вибрати таке значення, щоб після чергового перетворення обертання евклидова норма-ого стовпця перетвореної матриці була не менша норми-ого стовпця. Параметр зсуву вибирається так, щоб на кожному кроці перетворень зменшувалася евклидова норма матриці, рівний
.
Параметр зсуву задовольняє співвідношенню
, де
; ;
;
.
По закінченню ітераційного процесу матриця буде нормальною, причому, і або, або для всіх значень (,), а матриця буде блочно-діагональної: блоки розміру () міститимуть дійсні власні значення, а () - комплексно-зв'язані.
Побудова фазових траєкторій
Фазові траєкторії утворюються в процесі рішення задачі інтегрування системи диференціальних рівнянь, що описують досліджувану модель. Для цього використано метод чисельного інтегрування Рунге-Кутта четвертого порядку.
Алгоритм методу може бути представлений в наступному вигляді:
,,
,, <...
