члена на відрізку. У результаті одержують вираз інтеграла (формулу чисельного інтегрування) через значення підінтегральної функції в обраній системі точок. Такі вирази називають квадратурними формулами.
2. Метод сіток
.1 Теоретичні основи методу сіток для вирішення задачі Коші
диференційний рівняння формула схема
Основна ідея методу така. В області визначення диференціальної завдання вибирається кінцеве безліч точок (вузлів), зване сіткою. Функції та похідні в кожному вузлі наближено замінюються (апроксимуються) деякими лінійними комбінаціями значень відповідних функцій, що входять в рівняння і крайові умови, у вузлах сітки. В результаті цих замін нелінійна диференціальна задача ЄК зводиться до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь щодо наближених значень шуканих функцій у вузлах. Таку систему прийнято називати разностной завданням, або різницевої схемою. Незважаючи на нелінійність і велике, як правило, число невідомих, різницева задача більш краща для вирішення, ніж вихідна диференціальна, так як допускає застосування обчислювальної техніки. Знайдене на ЕОМ рішення різницевої задачі (різницеве ??рішення) приймається за наближене рішення вихідної задачі у вузлах сітки. Воно має вигляд числовий таблиці, розмір якої пропорційний кількості вузлів.
Таким чином, процедура чисельного рішення задач ЄК складається з трьох основних етапів.
1) Спочатку на обраної сітці проводиться апроксимація диференціальних рівнянь і крайових умов, в результаті якої будується різницева схема - дискретний аналог вихідної задачі.
2) Потім вибирається метод вирішення отриманої нелінійної різницевої задачі і конструювання обчислювального алгоритму завершується.
3) Заключний етап - програмна реалізація цього алгоритму на ЕОМ.
Суть методу сіток
1) в області інтегрування вибирається впорядкована система точок звана сіткою. Точки називають вузлами, а - кроком сітки. Якщо, сітка називається рівномірною. Для спрощення надалі будимо вважати сітку рівномірної;
) рішення шукається у вигляді таблиці значень у вузлах обраної сітки для чого диференціальне рівняння замінюється системою алгебраїчних рівнянь, що зв'язують між собою значення шуканої функції в сусідніх вузлах. Така система називається звичайно-різницевої схемою.
Є декілька поширених способів отримання конечно-різницевих схем. Наведемо тут один з найбільш універсальних - інтегро-інтерполяційний метод.
Відповідно до цього способу для отримання конечно-різницевої схеми проинтегрируем рівняння (3) на кожному інтервалі для k=0, ..., n - 1 і розділимо на довжину цього інтервалу:
. (4)
Інтеграл у правій частині (4) аппроксимируем однією з квадратурних формул (див. підрозд. 4.3), після чого отримуємо систему рівнянь щодо наближених невідомих значень шуканої функції, які на відміну від точних позначимо
. (5)
Тут xj - точки усередині інтервалу, що використовуються для отримання квадратурної формули (див. підрозд. 4.3).
Структура звичайно-різницевої схеми для задачі Коші (5) така, що вона встановлює закон рекуррентной послідовності для шуканого рішення. Тому використовуючи початкова умова задачі (2) і задаючи, потім по рекурентним формулами послідовно знаходять все
...
