Зміст
Введення
Постановка початкової задачі
Застосування методу додаткового аргументу до вирішення характеристичної системи
Доведення еквівалентності систем (8) і (26)
Доказ існування розв'язку задачі Коші
Постановка завдання чисельного розрахунку
Дискретизація вихідної задачі і її рішення итерациями
Програма та її опис. Результати обчислень
Висновок
Література
Введення
додатковий аргумент завдання коші
Розроблено кілька різних методів для дослідження можливості розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь в приватних похідних першого порядку. Наприклад, всім відомий класичний метод характеристик, метод Гальоркіна, метод потоків. Як і будь-який метод, кожен з них має свої переваги і свої недоліки. Не можна виділити який-небудь метод, що дозволяє вирішувати будь диференціальні рівняння в приватних похідних першого порядку. Кожен з відомих методів добре застосуємо тільки до певного класу рівнянь. Якщо, наприклад, звернутися до того ж самого методу характеристик, то виявляється, що він з успіхом застосовується лише у випадку, коли коефіцієнти перед похідними не містять невідомих функцій. А для систем квазілінійних диференціальних рівнянь або рішення нелінійних диференціальних рівнянь реально його застосовувати досить складно. У першу чергу, це пов'язано з тим, що при застосуванні методу характеристик для таких рівнянь у відповідному інтегральному рівнянні з'являється суперпозиція невідомих функцій. Останнім часом широкий розвиток отримав, зокрема, метод додаткового аргументу. Він дозволяє звести рішення вихідної задачі до інтегрального рівняння або системі інтегральних рівнянь. У цьому рівнянні невідома функція залежить від трьох незалежних змінних, але самі рівняння досить прості за своєю структурою. Для них досить просто довести існування дифференцируемого рішення, досліджувати якісні властивості рішення, а також побудувати чисельне рішення. Зокрема, для цього можна використовувати метод послідовних наближень. Суть методу додаткового аргументу, його застосування до розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь розглядаються далі.
Постановка початкової задачі
В області і розглянемо нелінійне диференціальне рівняння:
І нехай задано наступне початкова умова
Продифференцируем дане рівняння по х:
Позначимо Тоді рівняння (3) перепишеться у вигляді:
Вихідне рівняння (1) в наших нових позначеннях перепишеться так:
Перетворимо його так:
Запишемо характеристическую систему для рівняння (1) щодо невідомих функцій:
Таким чином, нелінійне рівняння (1) м звели до системи з двох квазілінійних рівнянь (8). З урахуванням (2) задамо початкова умова для функції:
Покажемо, що функція, обумовлена ??системою рівнянь (8) і початковими умовами (2) і (9), буде шуканим рішенням рівняння (1) з початковою умовою (2). Для цього достатньо показати, що
