p>
Продифференцируем перше рівняння системи по x:
(10)
Віднімемо з отриманого рівності друге рівняння системи:
(11)
Позначимо через, тоді з рівність (11) перепишеться у вигляді:
або:
При всіх і функція обмежена. Крім того,
.
Значить, можна визначити константу, що при. А це й означає, що
, А значить функція, обумовлена ??системою рівнянь (8) і початковими умовами (2) і (9), буде шуканим рішенням рівняння (1) з початковою умовою (2), що й потрібно було довести. Застосування методу додаткового аргументу до вирішення характеристичної системи.
Застосовуючи метод характеристик до обох рівнянь системи (8), отримаємо таку систему з трьох рівнянь:
(13)
Досліджуємо початкову задачу (8), (2), (9) за допомогою методу додаткового аргументу. Введемо наступні позначення:
Тобто розглянемо наступну систему диференціальних рівнянь щодо невідомих функцій:
(14)
Друге рівняння системи (14) можна розглядати як лінійне неоднорідне рівняння першого порядку щодо функції, яка залежить від. Тоді методом Ейлера (метод інтегруючого множника) можна знайти:
Далі, будемо шукати таке рішення системи, яке при перейде в точку, тобто
Також будемо враховувати й інші початкові умови:
(17)
Користуючись формулою Ньютона-Лейбніца з першого рівняння системи (14) отримаємо наступне інтегральне рівняння:
=(18)
З умови (15), тому рівняння (18) можна переписати у вигляді:
=(19)
З другого рівняння системи (14) аналогічно отримаємо наступне інтегральне рівняння:
(20)
З (17), а з (19) при отримаємо =, а значить і рівняння (20) перепишеться у вигляді:
(21)
Знову використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, отримаємо=і. Тому (21) можна переписати так:
(22)
Цілком аналогічно переходимо від третього рівняння системи (14) до рівняння (23):
(23)
З (23) випливає, що
Аналогічно з (22):
Отже, ми перейшли до наступної системи з двох рівнянь:
Доведення еквівалентності систем (8) і (26)
Покажемо, що якщо рішенням системи рівнянь (26) є безперервно-диференціюються і обмежені разом зі своїми першими похідними функції і, то функції, будуть рішенням задачі Коші (8), (2), (9) при де.
Продифференцируем (22) по:
Помножимо друге рівність на:
Вийшло рівність складемо з першим:
П...
