Кути та їх вимір
Нехай дано два співпадаючих променя - рухливий і - нерухомий. І нехай промінь повертаючись у площині навколо точки, здійснить деякий поворот. Такий поворот, при якому промінь вперше знову співпаде з променем, називається повним оборотом. br/>В
Нехай промінь здійснив деякий поворот, тоді говорять, що він задає кут, відповідний цьому повороту. Іншим визначенням кута є геометрична фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки, яка називається вершиною кута. Луч носить назву початку відліку і зазвичай спрямований горизонтально вправо. p> Для вимірювання кутів застосовують два заходи.
Градусная міра кута
Поворот, рівний повного обороту проти годинникової стрілки задає кут в один градус
Розрізняють також наступні частки градуса: 1 хвилина = 1 = 1/60 градуса; 1 секунда = 1 = 1/60 хвилини = 1/3600 градуси.
Кут, рівний 180о або половині повного обороту називають розгорнутим, рівний 90о або чверті повного обороту - прямим.
Радіанна міра кута
Розглянемо два промені - рухливий і - нерухомий. Виберемо на них точки і, які в початковий момент часу збігаються. При повороті точка буде описувати коло радіуса. Повернемо рухливий промінь так, щоб точка пройшла відстань, рівну радіусу:, тоді промінь складе з променем кут в один радіан. br/>В
Якщо повернути рухливий промінь так, щоб точка пройшла відстань, тоді промінь складе з променем кут в радіан.
При вчинення повного обороту точка проходить відстань, рівну довжині кола, значить повний оборот відповідає куту радіан.
З вищесказаного неважко встановити, що радіан відповідає 180о. Таким чином
і
Відповідність між кутами і числовим рядом
Радіанна міра кута дозволяє встановити взаємно однозначну відповідність між множиною кутів і поруч дійсних чисел. Це можливо, оскільки з одного боку - це число, що дорівнює 3,14 ... з іншого боку це кут, відповідний 180о. Таким чином, неважко встановити взаімооднозначном відповідність між кутами від 0 до 360о і дійсними числами від 0 до. Для того, щоб зрозуміти, як поставити у відповідність кути числах, що перевищує, слід згадати, що зробивши повний оборот рухливий промінь повертається у вихідне положення, тобто будь-яким кутах, различающимся на або кратне їм буде відповідати одне і те ж взаємне положення рухомого або нерухомого променів. Негативні ж кути відповідають повороту рухомого променя проти годинникової стрілки. Таким чином, будь-яке дійсне число являє собою Радіан міру-якого кута і навпаки, будь-якому кутку можна поставити у відповідність дійсне число. br/>
Тригонометричні функції
Визначення
Визначення тригонометричним функціям даються за допомогою тригонометричної окружності, під якою розуміється окружність одиничного радіуса з центром у початку координат.
В
Розглянемо два радіусу цього кола: нерухомий (де точка) і рухливий (де точка). Нехай рухливий радіус утворює з нерухомим кут. p> Число, рівне ординате кінця одиничного радіуса, що утворює кут з нерухомим радіусом, називається синусом кута:.
Число, рівне абсциссе кінця одиничного радіуса, що утворює кут з нерухомим радіусом, називається косинусом кута:.
Таким чином, точка, яка є кінцем рухомого радіуса, що утворює кут, має координати.
Тангенсом кута називається відношення синуса цього кута до його косинусу
,,.
котангенсів кута називається відношення косинуса цього кута до його синусу
,,
Геометричний сенс тригонометричних функцій
Геометричний сенс синуса і косинуса на тригонометричної окружності зрозумілий з визначення: це абсциса і ординат точки перетину рухомого радіуса, що становить кут з нерухомим радіусом, і тригонометричної окружності. Тобто,. br/>В
Розглянемо тепер геометричний сенс тангенса і котангенс.
Трикутники подібний за трьома кутами (,), тоді має місце відношення. З іншого боку, в, отже. p> Також подібний за трьома кутами (,), тоді має місце відношення. З іншого боку, в, отже. br/>
З урахуванням геометричного сенсу тангенса і котангенс вводять поняття осі тангенсів й осі котангенсів.
В
Осями тангенсів називаються осі, одна з яких стосується тригонометричної кола в точці і спрямована вгору, друга стосується кола в точці і спрямована вниз.
Осями котангенсів називаються осі, одна з яких стосується тригонометричної кола в точці і спрямована вправо, друга стосується кола в точці і спрямована вліво.
Властивості тригонометричних функцій
Розглянемо деякі основні властивості тригонометричних функцій. Решта властивості будуть розглянуті в розділі, присвяченому...
