графіками тригонометричних функцій. p align="justify"> Область визначення і область значень
Як вже було сказано раніше, синус і косинус існують для будь-яких кутів, тобто областю визначення цих функцій є безліч дійсних чисел.
За визначенням тангенс не існує для кутів,, а котангенс для кутів,.
Оскільки синус і косинус є ординатою і абсцисою точки на тригонометричної окружності, їх значення лежать у проміжку. Областю значення тангенса і котангенс є безліч дійсних чисел (у цьому неважко переконатися, дивлячись на осі тангенсів і котангенсів). p align="justify"> Парність/непарність
В
Розглянемо тригонометричні функції двох кутів (який відповідає рухливому радіусу) і (який відповідає рухливому радіусу). Оскільки, значить точка має координати. Тому, тобто синус - функція непарна;, тобто косинус - функція парна;, тобто тангенс непар;, тобто котангенс також непар.
Проміжки знакопостоянства
Знаки тригонометричних функцій для різних координатних чвертей слідують з визначення цих функцій. Слід зазначити, що оскільки тангенс і котангенс є відносинами синуса і косинуса, вони позитивні, коли синус і косинус кута мають однакові знаки і негативні коли різні. br/>В
синус косинус тангенс, котангенс
Періодичність
Періодичність синуса і косинуса заснована на тому факті, що кути, що відрізняються на цілу кількість повних обертів, відповідають одному й тому ж взаємному розташуванню рухомого і нерухомого променів. Відповідно і координати точки перетину рухомого променя і тригонометричної окружності будуть однакові для кутів, що відрізняються на цілу кількість повних обертів. Таким чином, періодом синуса і косинуса є і
,
де.
Очевидно, що також є періодом для тангенса і котангенс. Але чи існує менший період для цих функцій? Доведемо, що найменшим періодом для тангенса і котангенс є. br/>В
Розглянемо два кути і. Оп геометричному змістом тангенса і котангенс,,,. За осторонь і прилеглим до неї кутам рівні трикутники і, значить рівні і їх боку, значить і. Аналогічним чином можна довести, то,, де. Таким чином, періодом тангенса і котангенс є. br/>
Тригонометричні функції основних кутів
Формули тригонометрії
Для успішного вирішення тригонометричних задач необхідно володіти численними тригонометричними формулами. Тим не менше, немає необхідності заучувати всі формули. Знати напам'ять потрібно лише самі основні, а інші формули потрібно вміти при необхідності вивести. p align="justify"> Основне тригонометричне тотожність і наслідки з нього
Всі тригонометричні функції довільного кута пов'язані між собою, тобто знаючи одну функції завжди можна знайти інші. Цю зв'язок дають формули, що розглядаються в даному розділі. p> Теорема 1 (Основний тригонометричне тотожність). Для будь-якого справедливо тотожність
В
В
Доказ полягає в застосуванні теореми Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, і гіпотенузою.
Справедлива і більш загальна теорема.
Теорема 2. Для того, щоб два числа можна було прийняти за косинус і синус одного і того ж речового кута, необхідно і достатньо, щоб сума їх квадратів була дорівнює одиниці:
В
Розглянемо наслідки з основного тригонометричного тотожності.
Висловимо синус через косинус і косинус через синус
В В
У даний формулах знак плюс або мінус перед коренем вибирається залежно від чверті, в якій лежить кут.
Підставляючи отримані вище формули у формули, що визначають тангенс і котангенс, отримуємо:
при,,
при,.
Розділивши основне тригонометричне тотожність почленно на або отримаємо соотвественно:
при,,
при,.
Ці співвідношення можна переписати у вигляді:
при,,
при,,
при,,
при,.
Наступні формули дають зв'язок між тангенсом і котангенсом. Оскільки при, а при, то має місце рівність:
,,
Формули приведення
За допомогою формул приведення можна виразити значення тригонометричних функцій довільних кутів через значення функцій гострого кута. Всі формули приведення можуть бути узагальнені за допомогою наступного правила. p> Будь тригонометрическая функція кута, за абсолютною величиною дорівнює тій же функції кута, якщо число - парне, і ко-функції кута, якщо число - непарне. При цьому якщо функція кута, позитивна, коли - гострий позитивний кут, то знаки обох функцій однакові, якщо негативна, то різні. p align="justify"> Формули суми і різниця кутів
Теорема 3. Для будь-яких...
