Об'єктно-орієнтоване програмування на прикладі чисельних методів
Введення
інтерфейс рівняння Зейдель
Студентам, а також інженерам часто потрібно вирішувати завдання, які пов'язані з чисельними методами: рішенням алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, знаходження кореня алгебраїчного рівняння, знаходження рішень диференціальних рівнянь.
Подібні завдання вирішуються за допомогою чисельних методів, розроблених для вирішення математичних завдань за допомогою обчислювальної техніки на таких мовах програмування, як: QBASIC, TURBO PASCAL, C ++, DELPHI, VISUAL BASIC і д.р. пакети програм. Зокрема, математичні пакети MathCAD, Maple, MathLab також дають можливість вирішення аналогічних завдань.
Необхідно враховувати, що обчислювальна техніка не здатна без похибки записувати такі величини як і т.д., похибка може з'являтися і при обчисленні, округленні та інших операціях.
У деяких випадках при обчисленні необхідно попередньо математично перетворити або переписати в іншому вигляді функції, це може істотно знизити похибка або в ряді випадків без перетворення не сходяться рішення.
За допомогою обчислювальної техніки можна вирішити й інші інженерні завдання, але з певною похибкою.
1. Постановка завдань
Мета даного курсового проекту - навчитися використовувати методи структурного програмування на прикладі чисельних методів, зокрема написання декількох модулів і зв'язок їх в одну загальну програму.
Скласти програму наближеного обчислення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь методом хорд 2х - 3sin (2x) - 1=0 і описати вище зазначений метод, скласти блок-схему, описати стандартні і не стандартні функції, застосовувані в задачі, описати інтерфейс і навести приклад.
Скласти програму для розв'язання системи лінійний рівнянь методом Зейделя. Описати вище зазначений метод, скласти блок-схему, описати стандартні і не стандартні функції, застосовувані в задачі, описати інтерфейс і навести приклад.
Скласти програму для розв'язання диференціальних ур-й методом Рунге-Кутта.
крок 0.1
Описати вище зазначений метод, скласти блок-схему, описати стандартні і не стандартні функції, а так же інтерфейс завдання.
2. Математичний опис методів
.1 Метод хорд
Ідея методу полягає в тому, що по двох точках і побудувати пряму (тобто хорду, що сполучає дві точки графіка) і взяти в якості наступного наближення абсциссу точки перетину цієї прямої з віссю. Іншими словами, наближено замінити на цьому кроці функцію її лінійною інтерполяцією, знайденої за двома значеннями і. (Лінійної інтерполяцією функції назвемо таку лінійну функцію, значення якої збігаються зі значеннями в двох фіксованих точках, в даному випадку - в точках і).
В залежності від того, чи лежать точки і по різні сторони від кореня або ж по одну і ту ж сторону, отримуємо такі креслення:
Побудова послідовного наближення по методу хорд
Отже, чергове послідовне наближення буде залежати від двох попередніх:. Знайдемо вираз для функції.
інтерполяційних лінійну функцію будемо шукати як функцію з кутовим коефіцієнтом, рівним разностному відношенню
побудованому для відрізка між і, графік якої проходить через точку:
Вирішуючи рівняння, знаходимо
тобто
(1)
Зауважимо, що величина може розглядатися як різницеве ??наближення для похідної в точці. Тим самим отримана формула (1) - це різницевий аналог ітераційної формули методу Ньютона.
Обчислення за формулою (1) набагато переважно обчислення за іншою отриманою нами формулою
хоча ці дві формули математично тотожні, оскільки при використанні формули (1) у разі обчислень з округленнями (наприклад, на комп'ютері) досягається менша втрата значущих цифр.
Є два різновиди застосування формули (1).
Перший різновид: обчислення ведуться безпосередньо за формулою (1) при, починаючи з двох наближень і, узятих, по можливості, ближче до кореня. При цьому не передбачається, що лежить між і (і що значення функції в точках і мають різні знаки). При цьому не гарантується, що корінь потрапить на відрізок між і на якому-небудь наступному кроці (хоча це і не виключено). У такому випадку важко дати оцінку похибки, з якою наближає справжнє значення кореня, і тому задовольняються таким емпіричним п...
