равилом: обчислення припиняють, коли буде виконано нерівність, де- бажана точність знаходження кореня. При цьому вважають наближене значення кореня рівним [1].
2.2 Рішення систем лінійних рівнянь методом Зейделя
Для того щоб застосувати метод Зейделя до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Ax=b
з квадратною невиродженою матрицею A, необхідно попередньо перетворити цю систему до виду
x=Bx + c.
Тут B - квадратна матриця з елементами b ij (i, j=1, 2, ..., n), c - вектор-стовпець з елементами c ij (i=1, 2, ..., n ).
У розгорнутій формі запису система має наступний вигляд:
x 1=b 11 x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 + ... + b 1n xn + c 1
x 2=b 21 x 1 + b 22 x 2 + b 23 x 3 + ... + b 2n xn + c 2
................ n=b n1 x 1 + b n2 x 2 + b n3 x 3 + ... + b nn xn + cn
Взагалі кажучи, операція приведення системи до виду, зручного для ітерацій, не є простою і вимагає спеціальних знань, а також істотного використання специфіки системи.
Найпростіший спосіб приведення системи до виду, зручного для ітерацій, полягає в наступному. З першого рівняння системи висловимо невідоме x 1:
x 1=a 11 - 1 (b 1 - a 12 x 2 - a 13 x 3 - ... - a 1n xn),
з другого рівняння - невідоме x 2:
x 2=a 21 - 1 (b 2 - a 22 x 2 - a 23 x 3 - ... - a 2n xn),
і т.д. У результаті отримаємо систему
x 1=b 12 x 2 + b 13 x 3 + ... + b 1, n - 1 xn - 1 + b 1n xn + c 1, 2=b 21 x 1 + b 23 x 3 + ... + b 2, n - 1 xn - 1 + b 2n xn + c 2, 3=b 31 x 1 + b 32 x 2 + ... + b 3, n - 1 xn - 1 + b 3n xn + c 3,
.................. n=b n1 x 1 + b n2 x 2 + b n3 x 3 + ... + bn, n - 1 xn - 1 + cn,
в якій на головній діагоналі матриці B знаходяться нульові елементи. Інші елементи виражаються за формулами
b ij=- a ij/a ii, ci=bi/a ii (i, j=1, 2, ..., n, j? i)
Звичайно, для можливості виконання зазначеного перетворення необхідно, щоб діагональні елементи матриці A були ненульовими.
Введемо нижню і верхню трикутні матриці
0 0 0 ... 0 0 b 12 b 13 ... b 1n
b 21 0 0 ... 0 0 0 b 23 ... b 2n1=b 31 b 32 0 ... 0, B 2=0 0 0 ... b 3n
...... .......
b n1 b n2 b n3 ... 0 0 0 0 ... 0
Зауважимо, що B=B 1 + B 2 і тому рішення x вихідної системи задовольняє рівності
x=B 1 x + B 2 x + c.
Виберемо початкове наближення x (0)=[x 1 (0), x 2 (0), ..., xn (0)] T. Підставляючи його в праву частину рівності при верхньої трикутної матриці B 2 і обчислюючи отриманий вираз, знаходимо перше наближення
x (1)=B 1 x (0) + B 2 x (1)
Підставляючи наближення x (1), отримаємо
x (2)=B 1 x (1) + B 2 x (2)
Продовжуючи цей процес далі, одержимо послідовність x (0), x (1), ..., x (n), ... наближень до обчислюваних за формулою
x (k + 1)=B 1 (k + 1) + B 2 (k) + c
або в розгорнутій формі запису
x 1 (k + 1)=b 12 x 2 (k) + b 13 x 2 (k) + ... + b 1n xn (k) + c 1,2 (k + 1) =b 21 x 1 (k + 1) + b 23 x 3 (k) + ... + b 2n xn (k) + c 2,3 (k + 1)=b 31 x 1 (k + 1) + b 32 x 2 (k + 1) + ... + b 3n xn (k) + c 3,
................... n (k + 1)=b n1 x 1 (k + 1) + b n2 x 2 (k + 1) + b n3 x 3 (k + 1) + ... + c n.
Об'єднавши приведення системи до виду, зручного для ітерацій і метод Зейделя в одну формулу, отримаємо
xi (k + 1)=xi (k) - a ii - 1 (? j=1 i - 1 a ij xj (k + 1) +? j=1 na ij xi (k ) - bi).
Тоді достатньою умовою сходімоті методу Зейделя буде
? j=1, j? i n | a ij | lt; | A ii |
(умовах домінування діагоналі).
Метод Зейделя іноді називають також методом Гаусса-Зейделя, процесом Лібмана, методом послідовних заміщень. [2]
.3 Метод Рунге-Кутта
Метод дозволяє вирішувати системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку такого вигляду:
які мають рішення: ...
