x 2 b 2
A = a 31 a 32 a 33 ... A 3 n x = x 3 , b = b 3
В
a n 1 a n 2 a n 3 a nn x n b n
За правилом Крамера система n лінійних рівнянь має єдине рішення, якщо визначник системи відмінний від нуля (det A 0) і значення кожного з невідомих визначається наступним чином:
В
x j = , j = 1, ..., n, (3.3)
де det A j - Визначник матриці, одержуваної заміною j -го шпальти матриці A стовпцем правих частин b .
Безпосередній розрахунок визначників для великих n є дуже трудомістким по порівнянні з обчислювальними методами. p> Відомі в Нині численні наближені методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь розпадаються на дві великі групи: прямі методи та методи ітерацій. p> Прямі методи завжди гарантують отримання рішення, якщо воно існують, однак, для великих n потрібна велика кількість операцій, і виникає небезпека накопичення похибок.
Цього недоліку позбавлені ітераційні методи, але зате вони не завжди сходяться і можуть застосовуватися лише для систем певних класів.
Серед прямих методів найбільш поширеним є метод виключення Гауса і його модифікації, Найбільш поширеними ітераційними методами є метод простих ітерацій Якобі і метод Зейделя.
Ці методи будуть розглянуті в наступних розділах.
3.2 Метод виключення Гауса. Схема єдиного ділення
Основна ідея методу виключень Гауса полягає в тому, що система рівнянь (3.1) приводиться до еквівалентної їй системі з верхньою трикутною матрицею ( прямий хід винятків ), а потім невідомі обчислюються послідовної підстановкою ( Зворотний хід винятків ). p> Розглянемо спочатку найпростіший метод виключення Гауса, званий схемою єдиного поділу.
Прямий хід складається з n - 1 кроків. На першому кроці виключається мінлива x 1 із всіх рівнянь, крім першого. Для цього потрібно з другого, третього, ..., n- го рівнянь відняти найперше, помножене на величину
m =, i = 2, 3, ..., n. (3.4)
При цьому коефіцієнти при x 1 звернуться в нуль у всіх рівняннях, крім першого. p> Введемо позначення:
a = a ij - ma 1 j , B = b i - mb 1 . (3.5)
Легко переконатися, що для всіх рівнянь, починаючи з другого, a = 0, i = 2, 3, ..., n. Змінена система запишеться у вигляді:
В
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 n x n = b 1
ax 2 + ax 3 + ... + ax n = b
ax 2 + ax 3 + ... + ax n = b (3.6)
В
ax 2 + ax 3 + ... + ax n = b
Всі рівняння (3.6), крім першого, утворюють систему ( n - 1)-го порядку. Застосовуючи до неї ту ж процедуру, ми можемо виключити з третього, четвертого, ..., n- го рівнянь змінну x 2 . Точно так само виключаємо змінну x 3 з останніх n - 3 рівнянь. p> На деякій k -му кроці в припущенні, що головний елемент k-ого кроку a 0, мінлива x k виключається за допомогою формул:
В
m =,
a = a - ma,
В
b = b - mb, i , j = k + 1, k + 2, ..., N. (3.7)
Індекс k приймає значення 1, 2, ..., n - 1.
При k = n - 1 отримаємо трикутну систему:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 n x n = b 1
ax 2 + ax 3 + ... + ax n = b
ax 3 + ... + ax n = b (3.8)
В
...
