ax n = b
з трикутною матрицею A n .
Приведення системи (3.1) до трикутного вигляду (3.8) складає прямий хід методу Гауса.
При використанні методу Гаусса немає необхідності в попередньому обгрунтуванні існування та єдиності розв'язку (тобто докази, що det A В№ 0). Якщо на k -му кроці всі елементи a ( i = k , k + 1, ..., n ) виявляться рівними нулю, то система (3.1) не має єдиного рішення.
Зворотний хід полягає в обчисленні змінних. З останнього рівняння (3.8) визначаємо x n .. . Підставляючи його в передостаннє рівняння, знаходимо x n- 1 , і т. д. Загальні формули мають вигляд:
x n =,
x k = ( b-a x k + 1 - a x k + 2 - ... - a x n ) , k = n - 1, n - 2, ..., 1 (3.9)
В
Трудомісткість методу. Для реалізації методу виключення Гауса потрібно приблизно 2/3 n 3 операцій для прямого ходу і n 2 операцій для зворотного ходу. Таким чином, загальна кількість операцій становить приблизно 2/3 n 3 + N 2 . p> Приклад 3.1.
Застосуємо метод виключення Гауса за схемою єдиного ділення для розв'язання системи рівнянь:
2.0 x 1 + 1.0 x 2 - 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
0.4 x 1 + 0.5 x 2 + 4.0 x 3 - 8.5 x 4 = 21.9
0.3 x 1 - 1.0 x 2 + 1.0 x 3 + 5.2 x 4 = - 3.9 (3.10)
1.0 x 1 + 0.2 x 2 + 2.5 x 3 - 1.0 x 4 = 9.9
Будемо робити округлення чисел до чотирьох знаків після десяткової крапки.
Прямий хід. 1-ий крок. Обчислимо множники:
В
m === 0.2; m === 0.15; m === 0.5.
Віднімаючи з другого, третього і четвертого рівнянь системи (3.10) перше рівняння, помножене відповідно на m , m, m, отримаємо нову систему:
2.0 x 1 + 1.0 x 2 - 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
0.3 x 2 + 4.02 x 3 - 8.70 x 4 = 21.36
- 1.15 x 2 + 1.015 x 3 + 5.05 x 4 = - 4.305 (3. 11)
- 0.30 x 2 + 2.55 x 3 - 1.50 x 4 = 8.55
2-ий крок. Обчислимо множники:
В
m === - 3.83333; m === -1.0. br/>
Віднімаючи з третього і четвертого рівнянь системи (3.11) друге рівняння, помножене відповідно на m і m, приходимо до системи:
2.0 x 1 + 1.0 x 2 - 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
0.3 x 2 + 4.02 x 3 - 8.70 x 4 = 21.36
16. 425 x 3 - 28.300 x 4 = 77 .575 (3.12)
6.570 x 3 - 10.200 x 4 = 29.910
3-ій крок. Обчислимо множник:
В
m === 0.4.
Віднімаючи з четвертого рівняння системи (3.12) третя, помножене на m , наведемо систему до трикутного вигляду:
2.0 x 1 + 1.0 x 2 - 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
0.3 x 2 + 4.02 x 3 - 8.70 x 4 = 21.36
16. 425 x 3 - 28.300 x 4 = 77 .575 (3.13)
1.12 x 4 = - 1.12
Зворотний хід. З останнього рівняння системи (3.13) знаходимо x 4 = 1.000. Підставляючи значення x 4 у ...
