p>
2.7 Метод помилкового положення
Розглянемо ще одну модифікацію методу Ньютона.
Нехай відомо, що простий корінь x * рівняння f ( x ) = 0 знаходиться на відрізку [ a, b ] і на одному з кінців відрізка виконується умова f ( x ) f " ( x ) Ві 0. Візьмемо цю точку в якості початкового наближення. Нехай для визначеності це буде b . Покладемо x 0 = A. Будемо проводити з точки B = ( b, f ( b )) прямі через розташовані на графіку функції точки B n з координатами ( X n , f ( x n ) , n = 0 , 1 , ... . Абсциса точки перетину такої прямої з віссю OX є чергове наближення x n + 1 .
Геометрична ілюстрація методу наведена на рис. 2.10. br/>В
Рис. 2.10
Прямі на цьому малюнку замінюють дотичні в методі Ньютона (рис. 2.8). Ця заміна заснована на наближеному рівність
f '( x n ) В». (2.23)
Замінимо в розрахунковій формулі Ньютона (2.13) похідну f '( x n ) правою частиною наближеної рівності (2.23). В результаті отримаємо розрахункову формулу методу помилкового положення :
x n +1 = x n - .. (2.24)
Метод помилкового положення володіє тільки лінійної збіжністю. Збіжність тим вище, чим менше відрізок [ a, b ].
Критерій закінчення. Критерій закінчення ітерацій методу помилкового положення такий же, як і для методу Ньютона. При заданій точності e > 0 обчислення потрібно вести доти, поки не буде виконано нерівність
| x n - X n - 1 | < e . (2.25)
В
Приклад 2.5.
Застосуємо метод помилкового положення для обчислення кореня рівняння x 3 + 2 x - 11 = 0 з точністю e = 10 -3 . p> Корінь цього рівняння знаходиться на відрізку [1, 2], так як f (1) = -8 <0, а f (2) = 1> 0. Для прискорення збіжності візьмемо більш вузький відрізок [1.9, 2], оскільки f (1.9) <0, а f (2)> 0. Друга похідна функції f ( x ) = x 3 + 2 x - 11 дорівнює 6 x. Умова f ( x ) f " ( x ) Ві 0 виконується для точки b = 2. В якості початкового наближення візьмемо x 0 = a = 1.9. За формулою (2.24) маємо
x 1 = x 0 -. = 1.9 + В»1.9254. br/>
Продовжуючи ітераційний процес, отримаємо результати, наведені в табл. 2.5. br/>
Таблиця 2.5
n
x n
0
1
2
3
1.9
1.9254
1.9263
1.9263
В
Тема 3. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
3.1 Постановка завдання
Потрібен знайти рішення системи лінійних рівнянь:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 n x n = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3 n x n = b 3 (3.1)
.
a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + ... + a nn x n = b n
або в матричної формі:
Ax = b, (3.2)
де
a 11 a 12 a 13 ... a 1 n x 1 b 1
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n ...
