функції є Фур'є-образом функції. З формули зворотного перетворення Фур'є отримаємо, що в точках безперервності
.
Звідси
(14.4)
Якщо в точці t функція терпить розрив, то значення інтеграла в (14.4) дорівнює напівсумі односторонніх меж у цій точці. p> Формула (14.4) визначає зворотне перетворення Лапласа, за допомогою якого оригінал однозначно відновлюється за своїм зображенням з точністю до значень в точках розриву.
В
В§ 15. Зображення найпростіших функцій
Одинична функція Хевісайда. Маємо:
В
Так як при, то
.
Для функції Хевісайда з запізнілих аргументом по теоремі запізнювання отримаємо
В
Експонента. За теоремі зміщення
В
Гіперболічні та тригонометричні функції. В силу лінійності перетворення Лапласа маємо
;
;
;
.
Статечна функція з натуральним показником. Покладемо, де. Тоді при
.
При, тому
В
Звідси
.
Так як, то
В
Вправа 1. Знайти, використовуючи теорему зміщення, Лаплас-образи оригіналів
Періодичні функції. Якщо оригінал є Т-періодичною функцією, то його зображення по Лапласа
(15.1)
Дійсно, в цьому випадку
.
Виконавши заміну, в силу періодичності будемо мати
В
.
Ряд в правій частини останнього рівності являє собою суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником Так як при, то ряд сходиться, і його сума дорівнює, звідки і слід доказувана твердження.
Приклад. Знайти Лаплас-образ оригіналу з періодом Т = 1). p> Рішення. Маємо
В
Отже, в силу (15.1)
.
Ступінчасті (Кусково-постійні) функції. Ступенева функція, де, а числа утворюють зростаючу послідовність, може бути представлена ​​у вигляді
,,
де
Тоді
В
Вправа 2. Знайти зображення кусково-постійної функції
Імпульсні функції. Імпульсної функцією будемо називати функцію виду
В
де - функція, визначена для всіх p> Використовуючи функцію Хевісайда з запізнілих аргументом, можемо записати
.
Введемо функції, де. Тоді, і по теоремі запізнювання
.
Приклад. Знайти Лаплас-образ імпульсної функції
В В
Рішення. Так як
;
;
,
то
.
Дельта-функція Дірака. Розглянемо сімейство східчастих імпульсних функцій
(15.2)
і сімейство їх зображень по Лапласа
. (15.3)
При сімейство функцій розходиться, так як
В
Введемо умовну функцію - дельта-функцію Дірака, яку будемо вважати межею сімейства (15.2):. Таким чином, дельта-функція дорівнює нулю всюди, крім точки, де вона дорівнює.
Зображенням дельта-функції домовимося вважати межа сімейства (15.3) при:
.
Далі по визначенню покладемо
;.
Можна довести (і це слід зробити самостійно) справедливість наступних тверджень:
(15.4)
(15.5)
(15.6)
Вирази (15.5) і (15.6) коректні тільки за умови безперервності функції f ( t ). p> Зауваження 1. З твердження (15.6) випливає, що
В
що повністю відповідає теоремі запізнювання.
Зауваження 2. В силу (15.4) маємо
.
Таким чином, дельта-функцію формально можна розглядати як похідну одиничної функції Хевісайда.
У прикладних дисциплінах дельта-функції широко використовуються для моделювання ударних сил, зосереджених навантажень і тому подібних явищ.
В§ 16. Основні теореми операційного числення
Згортка оригіналів. Сверткой оригіналів і називається функція
.
Функції f ( t ) і g ( t ) називаються компонентами згортки.
Знайдемо для прикладу згортку довільного оригіналу і одиничної функції Маємо. Так як при то
. (16.1)
Довести, що згортка оригіналів - оригінал і що згортка коммутативна, тобто , Слід самостійно. p> Теорема 1. Якщо і, то
.
Дійсно, за визначенням (14.3) маємо
В
,
де D - Трикутна область, що задається системою нерівностей
В
Змінивши порядок інтегрування в подвійному інтегралі, отримаємо
.
<...
