ний зміст постійної величини а в рівнянні (13.9): а - це швидкість розповсюдження збурень в середовищі. p> З формули (13.12) випливає, що обурення в точці х в момент часу є результат додавання хвиль і, що вийшли в момент часу з точок з координатами і відповідно. p> Отже, при досить загальних припущеннях встановлено наступне:
1. Довільну функцію можна представити у вигляді В«сумиВ» гармонік; якщо задана на кінцевому інтервалі (або періодична), то ця сума являє собою ряд Фур'є; якщо задана на всій числовій осі (але неперіодична), то ця сума - інтеграл Фур'є. З точки зору додатків, це означає, що найрізноманітніші фізичні залежності, скажімо, тиску, струму, напруги і т.д. від часу можна представити у вигляді лінійної суперпозиції гармонійних коливань.
2. У поданні формули в вигляді ряду або інтеграла Фур'є природно виникає її спектр, який однозначно визначається за функції і який, у свою чергу, однозначно визначає саму функцію.
3. Результати спектрального аналізу, тобто процесу знаходження спектра тієї чи іншої залежності, використовуються при дослідженні лінійних систем, так як в цьому випадку достатньо вивчити поведінку системи при впливі на неї гармонійних коливань, а потім підсумувати результати цих впливів з урахуванням спектру розглянутого (вже довільного) впливу.
Вправа. Довести, що, якщо на всій осі функція y ( х ) дифференцируема, а j ( х ) - двічі диференційовна, то функція (13.11) дійсно задовольняє рівнянню (13.9) і початковим умовам (13.10).
Глава 3. Операційне числення
В
В§ 14. Перетворення Лапласа
Поняття оригіналу. Кусково-безперервна функція називається оригіналом, якщо виконуються наступні умови:
1) для всіх негативних t ;
2) при росте не швидше експоненти, тобто існують такі постійні M > 0 і c > 0, що для всіх t .
Число з називається показником зростання. очевидно, що для обмежених оригіналів показник зростання можна вважати рівним нулю. p> Найпростішим оригіналом є одинична функція Хевісайда
В
Якщо функція задовольняє умові 2 і не задовольняє 1, то твір буде задовольняти і умові 1, тобто буде оригіналом. Для спрощення запису будемо, як правило, множник H ( t ) опускати, вважаючи, що всі розглянуті в цій главі функції дорівнюють нулю при негативних значеннях t .
Легко бачити, що оригіналами є такі функції, як і т.п.
Можна довести, що сума, різниця і твір оригіналів є оригіналами і що оригіналом є функція при (докази слід знайти самостійно).
Зауваження. З цих тверджень випливає, що многочлени довільного ступеня, а також функції виду є оригіналами.
Інтеграл Лапласа. Інтегралом Лапласа для оригіналу f ( t ) називається невласний інтеграл виду
, (14.1)
де - комплексний параметр.
Теорема. Інтеграл Лапласа абсолютно сходиться у півплощині П з :, де з - показник зростання f ( t ). Справді, за визначенням оригіналу маємо. Таким чином, інтеграл (14.1) мажоріруется сходящимся інтегралом, і, отже, сходиться абсолютно в П з .
Зауваження. При доведенні теореми отримано використовуване надалі нерівність:
(14.2)
Перетворення Лапласа. Інтеграл Лапласа
(14.3)
представляє собою функцію параметра p , визначену у півплощині П з :. Функція називається Лаплас-образом (зображенням по Лапласа) оригіналу. Той факт, що є Лаплас-образ , Позначається або. p> Співвідношення (14.3), що встановлює зв'язок між оригіналом і його Лаплас-чином, називається перетворенням Лапласа.
Властивості перетворення Лапласа такі:
1. Теорема лінійності. За будь-яких постійних і
.
Це твердження випливає з визначення (14.3) і властивостей інтегралів. p> 2. Має місце, що безпосередньо випливає з нерівності (14.2).
3. Теорема подібності. Для будь-якого
.
Дійсно, вважаючи, отримаємо
.
4. теорема зміщення. Для будь-якого а . Дійсно,
.
5. теорема запізнювання. Для будь-кого. За визначенням перетворення Лапласа маємо
.
Тут враховано, що при. Виконавши в останньому інтегралі заміну, отримаємо
.
Зворотне перетворення Лапласа. Встановимо зв'язок між перетвореннями Лапласа і Фур'є. Так як при оригінал, то
В
де - показник зростання.
Інтеграл у правій частині останньої формули є інтеграл Фур'є для. Таким чином, Лаплас-образ...
