p> Введемо замість t нову змінну. Тоді
В
,
що і потрібно було довести.
Приклад 1. Знайти оригінал, якщо його Лаплас-образ.
Рішення. Уявімо даний Лаплас-образ у вигляді добутку двох зображень, для яких відомі оригінали:
.
Так як
,
то по теоремі 1 маємо
В
.
Вправа 1. Довести, що згортка лінійна по кожній компоненті:
,
де а і b - постійні.
Вправа 2. Знайти згортку функцій і. p> Інтегрування та диференціювання оригіналів. Для інтегрування і диференціювання оригіналів справедливі наступні теореми.
Теорема 2. Якщо те.
Для докази використовуємо формулу (16.1) і теорему 1. Тоді
.
Теорема 3. Якщо і - оригінали і, то
. (16.2)
Справді, виходячи з формули Ньютона - Лейбніца, в силу (16.1) матимемо
.
Тоді за теоремі 1
.
Звідси, що й потрібно було довести.
Застосувавши формулу (16.2) двічі, одержимо
В В
і т.д. У Зокрема, якщо, то, тобто в цьому випадку диференціювання оригіналу зводиться до множення його зображення на p .
Диференціювання та інтегрування зображень. Без докази приймемо такі властивості перетворення Лапласа:
1. Якщо - оригінал з показником зростання, то його зображення має в області похідні будь-яких порядків. p> 2. При тому ж умови межі, похідні та інтеграли від в області можна знаходити, виконуючи відповідні операції під знаком інтеграла (14.3).
Теорема 4. Якщо, то, тобто диференціювання зображення зводиться до множенню оригіналу на. Дійсно, диференціюючи (14.3) за параметром p , отримаємо
.
Праворуч стоїть інтеграл Лапласа для функції, отже,
,
що і потрібно було довести.
Застосувавши кілька разів теорему 4, отримаємо
.
Теорема 5. Якщо - оригінали і, то
,
тобто інтегрування зображення в зазначених межах зводиться до поділу оригіналу на . Так як в силу (14.3) маємо , То
В
.
Оскільки при і, то
.
Розглянемо функції
.
По теоремі 4 маємо
В
.
Так як, то по теоремі 5
.
Точно так само отримаємо
.
Застосовуючи теорему 2, знайдемо зображення інтегрального синуса
.
Наслідки з теорем 1-5 наведемо з доказами.
Слідство 1. Якщо сходиться інтеграл
, (16.3)
то
. (16.4)
З збіжності інтеграла (16.3) випливає, що зображення безперервно в замкнутій області. Переходячи до межі в (14.3) при, приходимо до необхідному результату.
Слідство 2. Якщо сходиться інтеграл, то
.
Так як, то в силу (14.4)
.
Для справедливо рівність
.
В
Слідство 3. Якщо - оригінали, то. Дійсно, по теоремі 3
. (16.5)
З іншого боку, (див. В§ 14). Переходячи до межі в (16.5) при, отримаємо необхідний результат. p> Слідство 4. Якщо - оригінали та існує кінцева межа, то
. (16.6)
Виходимо з рівності
. (16.7)
У силу (14.4) і теореми 3
. (16.8)
З (16.7) і (16.8) одержуємо (16.6). p> Формула (16.6) дозволяє дослідити поведінку оригіналів при, маючи в своєму розпорядженні тільки їх зображення. p> Вправа. Обчислити невласний інтеграл, де. br/>
В§ 17. Формула розкладання Хевісайда
Нехай зображення функції являє собою дрібно-раціональну функцію.
Теорема. Нехай, де і - диференціюються. Введемо як полюси функції, тобто коріння (нулі) її знаменника. Тоді, якщо, отримаємо формулу Хевісайда:
. (17.1)
Доказ проведемо для випадку, коли і - Многочлени ступенів т і п відповідно, при цьому т < п . Тоді - правильна раціональна дріб. Уявімо у вигляді суми найпростіших дробів:
. (17.2)
Звідси Коефіцієнти знайдемо з тотожності (17.2), переписавши його у вигляді
,
де
.
Помножимо обидві частини останнього рівності на і перейдемо до межі при. Враховуючи, що і, одержимо
,
звідки і слід (17.1). Теорема доведена. p> Зауваження 1. Якщо коефіцієнти многочленів і речовинні, то комплексні корені многочлена попарно сполучені. Отже, у формулі (17.1) комплексно сполученими величинами будуть доданки...
