>
, тобто
.
У наведеному рішення вираз для легко уявлялося у вигляді площі деякою ступінчастою фігури. Щоб скористатися розглянутим у задачі методом докази нерівностей, частіше доводиться попередньо преобразо-вивать вирази, що зустрічаються в нерівностях.
Завдання 2.3. Довести, що для кожного натурального n.
Рішення.
Ліву частина нерівності при можна представити в наступному вигляді:
В
Розглянемо функцію на відрізку. Цей відрізок точками, розбивається на n рівних частин довжини 1. Вираз
дорівнює сумі площ прямокутників, побудованих на відтинках як у підставах з висотами. Функція при
позитивна, неперервна, спадна. Тому можна скористатися нерівністю (2.3). Маємо
Зауважимо, що при нерівність очевидно.
2.2. Монотонність інтеграла
З визначення інтеграла випливає, що для неотрицательной неперервної на відрізку [a, b] функції f для всіх.
Теорема 1. Нехай функції f і g безупинні на відрізку [a, b] і для всіх. Тоді для всіх:. Це властивість називають монотонністю інтеграла.
За допомогою теореми 1 почленно проінтегрувавши обидві частини нерівності, можна отримати цілу серію нових нерівностей. Наприклад,
при маємо очевидне нерівність. Застосуємо теорему 1, поклавши. Функції f, g задовольняють умовам теореми на проміжку. Тому для довільного:, тобто (1). Застосовуючи той же метод до нерівності (1), отримуємо, або. Звідси. Продовжуючи аналогічно, маємо,
і т.д.
У розглянутому прикладі вибір вихідного нерівності не складе труднощів. В інших випадках цей перший крок розв'язання задачі не настільки очевидний. Теорема 1 дає, по суті, прийом для отримання вихідної нерівності.
Нехай потрібно перевірити істинність нерівності
В (2.4)
Якщо справедливо співвідношення, то згідно теоремі 1, має місце і нерівність
, або (2.5). p> Якщо має місце нерівність, то, складаючи його почленно з (2.4), встановлюємо справедливість нерівності (2.5).
Завдання 2.4. Довести, що при. (2.6)
Рішення.
Нерівність (2.6) перепишемо у вигляді. Ліва і права частини останнього нерівності представляють собою функції від. Позначивши, одержимо (2.7). Доведемо, що (2.7) виконується при. Знайдемо похідні обох частин нерівності (2.7). Відповідно маємо:
. При. Дійсно,. Застосовуючи теорему 1 для функцій і при, отримуємо. Так як, то
. Звідси при, слід (2.6). p> Завдання 2.5. Довести, що при:.
Рішення.
Обчислимо похідні лівої і правої частин:
Ясно, що, оскільки,. Так як і безперервні функції, то, згідно теоремі 1, має місце нерівність
, тобто ,. Завдання 2.5. вирішена.
Теорема 1 дозволяє встановлювати істинність нестрогих нерівностей. Твердження, що міститься в ній, можна посилити, якщо зажадати виконання додаткових умов.
Теорема 2. Нехай ви...
