конуються умови теореми 1 і, крім того, для деякого має місце суворе нерівність. Тоді при також має місце суворе нерівність.
Завдання 2.6. Довести, що при: (2.8).
Рішення.
Попередньо слід перевірити відповідне нерівність для похідних лівої і правої частин, тобто що, або. Його справедливість при можна встановити, якщо застосувати теорему 1 до нерівності. Оскільки, крім того,, то виконуються всі умови теореми 2. Тому має місце суворе нерівність,, чи,. Після перетворень прийдемо до нерівності (2.8). p> 2.3. Інтеграли від опуклих функцій
При вирішенні багатьох завдань доцільно застосовувати наступний підхід.
Розділимо відрізок [a, b], на якому задана безперервна функція f. на n частин точками. Побудуємо прямокутні трапеції, підставами яких є відрізки x k y k , x k +1 y k +1 , а висотами - x k x k +1 , k = 0,1, ..., n-1. Сума площ цих трапецій за досить великому n близька до площі криволінійної трапеції. Щоб цей факт можна було застосувати до доказу нерівностей функція f повинна задовольняти деяким додатковим вимогам.
Нехай функція f двічі диференційовна на деякому проміжку і в кожній точці цього проміжку f // (x)> 0. Це означає, що функція f / зростає, тобто при русі уздовж кривої зліва направо кут нахилу дотичної до графіка зростає. Іншими словами, дотична повертається в напрямку, зворотному напрямку обертання годинникової стрілки. Графік при цьому В«вигинається вгоруВ», В«випинаючись вниз В». Така функція називається опуклою. Графік опуклої функції розташований В«НижчеВ» своїх хорд і В«вищеВ» своїх дотичних. Аналогічно, якщо f // (x) <0, то f / убуває, дотична обертається за годинниковою стрілкою і графік лежить В«вищеВ» своїх хорд, але В«нижчеВ» своїх дотичних. Така функція називається увігнутою. p> Функція увігнута в області свого визначення, так як. Друга похідна функції позитивна на числової прямої. ТомуВ - Опукла функція. Для функції друга похідна приВ , При, тобто функція на інтервалі
увігнута, а на опукла.
Завдання 2.7. Довести, що
Рішення.
Ліва частина цієї нерівності дорівнює площі прямокутної трапеції, підстави якої дорівнюють значенням функції в точках і, тобто і, а висота -. Функція випукла. Тому площа криволінійної трапеції, обмеженою її графіком, прямими і відрізком [a, b] осі x, менше площі прямокутної трапеції. Отже,
.
Подібний результат має місце і в загальному випадку. Нехай функція f на відрізку [ab] безупинна, позитивна і опукла. Тоді
В В (2.9)
Якщо ж безперервна, позитивна функція f увігнута, то
В (2.10)
Завдання 2.8. Довести, що для виконується нерівність
Рішення.
Функція безупинна, позитивна, увігнута. Тому для неї виконується нерівність (2), де. Маємо
.
Графік функції...
