отримано один приватний прийом рівносильного перетворення рівнянь.
Задача 1.19. Вирішити рівняння.
Рішення.
Перепишемо дане рівняння у вигляді. Функція неперервна, зростаюча (як сума двох зростаючих функцій іВ ), Тому вона має зворотну. Знайдемо її:,. Отже, зворотної для f є функція, збігається правою частиною рівняння. На підставі доведеного вище рівняння еквівалентно рівнянню. Ясно, що є коренем рівняння. Переконаємося, що інших коренів рівняння не має. p> Нехай. Тоді позитивна як різницю між середнім арифметичним і середнім геометричним двох позитивних чисел і. Таким чином, функція h зростає на числової осі. Так як, то h (x)> 0 при і при, тобто - Єдиний корінь рівняння. br/>
РОЗДІЛ 2
Первісна та ІНТЕГРАЛ У ЗАДАЧАХ ЕЛЕМЕНТАРНОГО МАТЕМАТИКИ
2.1. Застосування інтеграла від монотонних функцій до доказу нерівностей
Якщо при, то дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції, відрізком [a, b] осі x і перпендикулярами до осі x в точках a і b.
Нехай функція f позитивна, безупинна і зростаюча на [a, b]. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n частин точками.
Сума дорівнює сумі площ прямокутників, побудованих на відтинках як у підставах, з висотами, тобто дорівнює площі ступінчастою фігури В«вписаноюВ» в криволінійну трапецію. Так як функція f зростає, то ця площа менше площі криволінійної трапеції. Звідси
В (2.1) p> Аналогічно, розглядаючи площа В«описаноїВ» ступінчастою фігури, отримуємо
В (2.2)
Якщо функція f позитивна, безупинна і спадаючий на [a, b], то
(2.3)
Покажемо на ряді прикладів, як співвідношення (2.1) - (2.3) використовуються при доказі нерівностей.
Завдання 2.1 . Довести, що якщо, то. p> Рішення.
Вираз співпадає з лівою частиною нерівності (2.1), де. Функція на інтервалі зростає, непрерина, позитивна. Тому, згідно (1),. Функція є первісною для функції, так як
. Тому. Ліва частина подвійного нерівності доведена. Права частина виходить з співвідношення (2.2) для функції при тих же припущеннях. p> При виконанні завдання 1 ми використовували той факт, що площа кріволіней-ної трапеції, обмеженою графіком безупинної, позитивної, возрастаю-щей на [a, b] функції, відрізком [a, b] осі x і прямими, укладена між площами прямокутників, побудованих на [a, b] як на підставі, з висотами і відповідно.
Площі прямокутників дають, взагалі кажучи, досить грубі наближення для площі криволінійної трапеції. Більш точні оцінки виходять шляхом розбиття відрізка [a, b] на досить велике число частин. p> Завдання 2.2. Нехай. Довести, що для кожного. p> Рішення.
РозглянемоВ і функцію. Вона неперервна, позитивна і спадна. Скористаємося нерівністю (2.3), де. (Точки ділять відрізок на відрізки однакової довжини). Отримаємо
В В
Звідси. Крім того,
