О” z1 = (1 +3 i) - (4 +2 i) = (2 +6 i +3 i-9) +28 +14 i = 21 +23 i p> 7 (2 +3 i)
О” z2 = (3-i) (1 +3 i) = 21-7i-4-2i-12i +6 = 23-21i p> (4 +2 i) 7
Z 1 = 21 +23 i = 1; z 2 = 23-21i =-i (21 +23 i) =-i
21 +23 i 21 +23 i 21 +23 i
Відповідь: z 1 = 1; z 2 =-i.
9. Довести, що (а 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) можна представити у вигляді суми квадратів цілих чисел (a, b, c - Цілі числа). p> Доказ: зауважимо, що а 2 +1 = | a + i | 2 , тоді маємо: (а 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) = (a + i ) (Ai) (b + i) (bi) (c + i) (ci) = (a + i) (b + i) (c + i) (a + i) (b + i) (c + i ) =
10. Знайти суми:
С = cosП† + cos2П† + ... + cosnП†; S = sinП† + sin2П† + ... + sinnП†. p> Рішення: знайдемо суму Пѓ = с + iS = (e iП† + e 2 iП† + ... + e inП† ) і виділимо дійсну і уявну її частини, тобто С = ReПѓ; S = ImПѓ. Послідовно маємо: e iП† + e 2 iП† + ... + e inП† = e iП† ((1 - e inП† )/(1 - e iП† )) = (E iП† (1 - e inП† ) (1 - e - iП† ))/( (1 - e iП† ) (1 - e - iП† )) = = (E iП† -1 - e iП† ( n +1) + e inП† )/| 1 - e iП† | 2 .
Оскільки | 1 -
Re (e iП† -1 - e iП† (n +1) + e inП† ) = cosП†-1-cos (n +1) П† + cosnП† = = - 2sin 2 (П†/2) +2 sin (П†/2) sin (nП† + П†/2) = 2sin (П†/2) 2sin (nП†/2) cos ((n +1) П†)/2 і Im (e iП† -1 - e iП† (n +1) + e inП† ) = sinП†-sin (n +1) П† + sinnП† = 2sin (П†/2) (cos (П†/2)-cos (nП† + П†/2)) = = 2sin (П†/2) 2sin (nП†/2) sin (((n +1) П†)/2), то С = (4sin (П†/2) sin (nП†/2) cos (((n +1) П†)/2))/(4sin 2 (П†/2)) == [Sin (nП†/2) cos (((n +1) П†)/2))]/sin (П†/2);
S = (4sin (φ/2) sin (nφ/2) cos (((n +1) φ)/2))/(4sin 2 (φ/2)) == [Sin (nφ/2) cos (((n +1) φ)/2))]/sin (φ/2)
11. Знайти суму 1 + e ПЂ cosПЂ + e 2ПЂ cos2ПЂ + ... + e nПЂ cosnПЂ.
Рішення: Розглянемо функцію
S (x) = 1 + e x cosx + e 2 x cos2x + ... + e nx cosnx і знайдемо її значення при х = ПЂ.
У свою чергу, при знаходженні суми S (x) перейдемо до комплексних числах:
Пѓ (z) = 1 + e x + ix + e 2x + i2x + ... + e nx + inx = 1 + e x (1 + i) + e 2x (1 + i) + ... + e nx (1 + i) = ( 1 - (e x (1 + i) ) n +1 )/(1 - e x (1 + i) ) = = (1 - e ...
