φcosφ; sin3φ = 3cos 2 φsinφ-sin 3 φ.
Доказ: за формулою Муавра маємо: , Прирівнюючи дійсні та уявні частини комплексних чисел, що cos3П† = cos 3 П†-3sin 2 П†cosП†, sin3П† = 3cos 2 П†sinП†- sin 3 П†.
4. Знайти дійсні рішення рівняння (3 + i) x + (-5 +2 i) y = 4 +16 i.
Рішення: (3x-5y) + i (x +2 y) = 4 +16 i
3x-5y = 4
x +2 y = 16 x = 8; y = 4.
Відповідь: z = 8 +4 i.
5. Довести тотожність і обчислити його геометричний зміст.
Доказ: | z 1 + z 2 | 2 + | z 1 -z 2 | 2 = (Z 1 + z 2 ) ( z 1 + z 2 ) + ( z 1 -z 2 ) ( z 1 -z 2 ) = (Z 1 + z 2 ) ( z 1 + z 2 ) + + (Z 1 -z 2 ) ( z 1 -z 2 ) = 2 z 1 z 1 +2 z 2 z 2 = 2 (| z 1 | 2 + | z 2 | 2 ).
Геометричний зміст: сума квадратів довжин діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін паралелограма.
6. Знайти геометричне місце точок:
а) | z-z 0 | = R; б) z = z 0 + Re it (0 ≤ t <2ПЂ)
Відповідь: Коло радіуса R з центром у z 0 .
в) | z-3i | = | z +2 |;
г) | z + i | = | z-3 | = | z-1-i |;
д) | z | ≤ R
π/4 ≤ argz ≤ 5π/4
Рішення:
в) точка z повинна бути вилучена на таку ж відстань від точки z 1 = -2, як і від точки z 2 = 3i, тобто повинна знаходитися на серединному перпендикуляре, проведеному до відрізка АВ. Отже, шукане геометричне місце точок - це пряма, що проходить через точку С (х з ; у з ), де х з = (-2 +0)/2 = -1; у < sub> з = (3 +0)/2 = 3/2, перпендикулярна відрізку АВ.
г) Розглядаючи попарно спрямовані рівності | z + i | = | z-3 | і | z-3 | = | z-1-i |, приходимо до висновку, що шукане безліч точок - це безліч точок перетину серединних перпендикулярів, проведених до відрізків АВ і ВС (а також і до АС).
д) Верхній півколо, обмежений променями argz = ПЂ/4 і argz = 5ПЂ/4 і окружністю | z | = R, який не містить (в€™) z = 0.
7. Довести тотожність:
(2x-z) 2 + (2x-z) 2 = 2Re (z 2 ).
Доказ:
1) (2x-z) 2 + (2x-z) 2 = p> 2)
8. Вирішити систему рівнянь
(3-i) z 1 - (4 +2 i) z 2 = 1 +3 i;
(4 +2 i) z 1 + (2 +3 i) z 2 = 7. p> Рішення: Застосуємо правило Крамера:
О” = (3-i) - (4 +2 i) = (2 +3 i) (3-i) + (4 +2 i) 2 = 21 +23 i p> (4 +2 i) + (2 +3 i)
...
