x ), ..., майже скрізь сходиться до вимірної і майже скрізь кінцевої функції f ( x ): В
У такому випадку, для будь-якого d > 0 існує таке вимірна множина Е d Е, що:
1) mE s > mE - d ;
2) на множині E d прагнення (*) відбувається рівномірно.
Д про до а із а т е л ь с т в о. При доведенні теореми Лебега було встановлено, що за будь s> 0 буде
(1)
де.
Помітивши це, візьмемо сходиться позитивний ряд
h 1 + h 2 + h 3 + ... (H i > 0)
і прагне до нуля послідовність позитивних чисел
s 1 > s 2 > s 3 > ..., lim s i = 0 . p> У силу (1), можна кожному натуральному i співвіднести таке натуральне n i , що mR ni (s i ) i .
Зробивши це, знайдемо таке i 0 , що (де d число, яке фігурує в формулюванні теореми), і покладемо.
Очевидно,
me
Нехай Е d = Е - е. Встановимо, що безліч Е d потрібне. Нерівність mE d > mE - d ясно, так що залишається переконатися в рівномірності прагнення
f n (x) В® f (x)
на безлічі Е d .
Нехай e> 0. Знайдемо i таке, що i Ві i 0 , s i i і при всіх x ГЋ Е d буде
| f k (x) - f (x) |
звідки і буде слідувати теорема.
Якщо x ГЋ Е d , то х e. Значить зокрема, x R ni (s i ). p> Інакше кажучи, при k Ві n i
x ГЋE (| f k - f | Ві s i ),
так що
| f k (x) - f (x) | i (k Ві n i )
і тим більше
| f k (x) - f (x) | i ).
Теорема доведена, бо n i залежить тільки від e, але не від x.
Структура вимірних функцій
При вивченні якої-небудь функції сам собою постає питання про точне або наближеному представленні її за допомогою функцій більш простої природи.
Такі, наприклад, алгебраїчні питання про розкладання многочлена на множники або раціональні дробу на найпростіші. Такий же питання про розкладанні безперервної функції в статечної або тригонометричний ряд і т.п.
У цій частині ми встановлюємо різні теореми про наближенні вимірних функцій функціями безперервними, тобто вирішуємо подібний питання для вимірних функцій. Ці теореми дозволяють нам знайти основне структурна властивість вимірної функції виражається теоремою 4.
Теорема 1. ...
