4.Деленіе комплексних чисел визначається як операція, зворотна множенню: число z = a + ib називається приватним від ділення z 1 = a 1 + ib 1 і z 2 = a 2 + ib 2 (z 2 в‰ 0), якщо z 1 = z в€™ z 2 . Отже, дійсну і уявну частини приватного можна знайти з рішення системи рівнянь: a 2 a - b 2 b = a 1 , b 2 a + a 2 b = b 1 .
Геометрична інтерпретація комплексних чисел.
Комплексне число z = (a, b) можна представити у вигляді точки на площині з координатами (a, b) або вектора з початком на початку координат і кінцем у точці (a, b).
Запис виду
z = ПЃ (cos П† + isin П†)
називається тригонометричної формою запису комплексного числа.
У свою чергу, модуль і аргумент комплексного числа можна виразити через а і b:. Отже, аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до доданка, кратного 2ПЂ.
Окремим випадком операції множення є зведення в ступінь
формула Муавра.
Використовуючи отримані співвідношення, перерахуємо основні властивості комплексно сполучених чисел:
В
Вилучення кореня з комплексного числа.
Комплексне число називається коренем n-го ступеня з z, якщо z = z 1 n .
Приклад. Число z = 16 можна представити у тригонометричної формі наступним чином: z = 16 (cos0 + isin0). Знайдемо всі значення:
Показова форма комплексного числа.
Введемо ще одну форму запису комплексного числа. На безлічі комплексних чисел існує зв'язок між тригонометричними і показовими функціями, що задається формулою Ейлера:
, Використовуючи цю формулу, можна отримати з ще один вид комплексного числа: який називається показовою формою запису комплексного числа.
Розглянемо в комплексній області многочлен, тобто функцію виду
, де - комплексні числа. Числа називаються коефіцієнтами многочлена, а натуральне число n - його ступенем. p> Два багаточлена P n (z) і рівні тоді і тільки тоді, коли m = n, a 0 = b 0 , a 1 = b 1 , ..., a n = b n .
Число z 0 називається коренем многочлена, якщо P n (z 0 ) = 0.
Теорема (теорема Безу). Залишок від ділення многочлена P n (z) на z - z 0 (z 0 - не обов'язково корінь многочлена) дорівнює P (z 0 ).
Теорема (основна теорема алгебри). Всякий многочлен в комплексній області має корінь.
Запитання для самоперевірки
1.Що таке уявна одиниця?
2. Що таке речова і уявна частини комплексного числа? Є Чи вони речовими числами?
3. Що таке комплексно зв'язані числа? Чим відрізняються зображення комплексно сполучених чисел z і z * на комплексній площині?
4. Як зобразити на комплексній площині, користуючись правилами додавання векторів, суму і різницю двох комплексних чісел7
5. Чому одно твір комплексно сполучених чисел? p> 6. Скільки рішень має квадратне рівняння з речовими коефіцієнтами? які характерні випадки можливі?
7. У якому вигляді може бути представлений многочлен. якщо відомі його коріння?
ТЕМА 6. МЕЖА І безперервні функції
Поняття межі. межа суми, добутку і частки. Межа складної функції. Обчислення меж. Чудові межі. Поняття безперервності в точці і на інтервалі. Точки розриву. Геометричний зміст. Безперервність суми, добутку і частки функцій. безперервність складної функції. Безперервність елементарних функцій. p> КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Число A називається границею функції y = f (x) в точці x 0 (Іноді говорять, при x, що прямує до x 0 ), якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число d, що для всіх x з d-околі точки x 0 відповідні значення y потрапляють в e-околиця точки y = A.
Можна сформулювати визначення границі функції по-іншому. Число A називається границею функції y = f (x) в точці x 0 , якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число d, що для всіх x, що задовольняють умові
0 <ГЄx - x 0 ГЄ
виконується умова
ГЄy - AГЄ
Той факт, що A є межа функції y = f (x) в точці x = x 0 , записується формулою
.
Функція y = f (x) називається неперервною в точці x = x 0 , якщо вона визначена в цій точці і її значення f (x 0 ) одно межі функції в цій точці:.
Функція y = x 2 неперервна в точці x = 2, як і у всіх точках числової осі. Функція не є неперервною в точці x = 2. Функція не є неперервною в точці x = 0. p> Функція, безперервна в кожній точці відкр...
