ки його поведінка аналогічно поведінці системи фазового автопідстроювання з ідеальним інтегратором: , що працює в відсутність шуму [см. (2.12)].
В
Рис. 2.2. Фазові портрети математичного маятника
Диференціальне рівняння фазових траєкторій (2.2) приймає вигляд
, (2.15)
а криві енергії визначаються рівністю
, (2.16)
де константа представляє повну енергію системи .
Криві енергії ілюструються рис. 2.2. Ми бачимо, що необхідно вимагати , бо інакше буде завжди негативним. Коли , з (2.16) випливає, що ці криві - замкнуті і центровані щодо точок , ( - будь-яке ціле число). У зазначених випадках амплітуду знаходять із співвідношення
,
а період коливань визначається рівністю
. (2.17)
Якщо ввести нову змінну інтегрування
В
і використовувати зв'язок між і , з (2.17) можна знайти
. (2.18)
Зазначимо, що збільшується разом з амплітудою (наслідок нелінійності; в лінійній області період від не залежить) і визначається повним еліптичних інтегралом I роду.
Коли повна енергія , помічаємо з (2.16), що швидкість ніколи не стає нульовою; криві при цьому розімкнуті (рис. 2.2). У верхній півплощині рух зображає точки , відбувається зліва направо, а в нижній півплощині воно відбувається справа наліво. Кордон переходу (проведена більш жирною лінією), тобто перехід від розімкнутих до за мкнутим кривим, що виникає при , визначається з (2.16) співвідношенням . Іноді цю траєкторію називають сепаратріссой.
Фізична інтерпретація цих фактів цілком ясна. Маятник або коливається (фазова помилка змінюється по гармонійному закону) навколо його наїнізшего положення () і криві енергії замкнуті, або йому надано настільки висока початкова швидкість, що ві...
