ign="justify"> і функції , криві на площині , можна розглядати як задані в параметричної формі з як параметр. Тоді з того, що , випливає, що зростає з , коли позитивна, і убуває з , коли негативна.
Замкнуті криві енергії відповідають періодичним коливанням , де період - час, необхідний для того, щоб досягти колишніх значень відхилення і швидкості . Період можна обчислити за допомогою лінійного інтеграла
, (2.10)
взятого вздовж замкнутих кривих енергії в позитивному напрямку .
Наприклад, розглянемо випадок лінійної функції , тобто . Диференціальне рівняння кривих енергії (m = 1)
. (2.11)
звідки
, (2.12)
де і - початкові значення при . Всі криві енергії для -еліпси, і, отже, кожен рух періодично (рис. 2.1). З попереднього розділу відомо, що це відповідає простому гармонійному руху з і
, (2.13)
де і . Це передбачає початкові умови (при ). Період коливань згідно (2.10)
. (2.14)
Зазначимо, що в цьому лінійному випадку період коливань не залежить від амплітуди , так що обхід будь-якої замкнутої кривої енергії, представляє рішення на фазовій площині, відбувається за одне і той же час. Якщо , криві енергії перетворюються на гіперболи і ніяких періодичних коливань не існує.
В
Рис. 2.1 Фазові портрети простого гармонійного руху
В якості другого прикладу розглянемо маятник, оскіль...
