то система рівнянь () має шість рішень
В В
(які утворюються один від одного перестановками) та інших рішень не має; назад, якщо x = a, y = b, z = c - рішення системи (), то числа a, b, c є корінням кубічного рівняння ().
Для доказу цієї теореми нам знадобиться наступна лема.
Якщо u1, u2, u3 - коріння кубічного рівняння u3 + pu2 + qu + r = 0, то мають місце співвідношення:
u1 + u2 + u3 =-p, 1u2 + u1u3 + u2u3 = q, u1u2u3 =-r.
Ці співвідношення називаються формулами Вієта для кубічного рівняння. Покажемо, звідки ці формули випливають. Отже, нехай u1, u2, u3 - коріння кубічного рівняння u3 + pu2 + qu + r = 0; числа u1, u2, u3 можуть бути дійсними або комплексними. Тоді многочлен u3 + pu2 + qu + r наступним чином розкладається на множники:
u3 + pu2 + qu + r = (u-u1) (u-u2) (u-u3). ()
Розкриваючи дужки в правій частині, знаходимо:
u3 + pu2 + qu + r = u3-(u1 + u2 + u3) u2 + (u1u2 + u1u3 + u2u3) u-u1u2u3.
Написане рівність означає, що зліва і справа стоїть один і той же многочлен, тобто що відповідні коефіцієнти в лівій і правій частинах збігаються. Іншими словами,
- (u1 + u2 + u3) = p, 1u2 + u1u3 + u2u3 = q,
-u1u2u3 = r,
що й доводить лему.
Доказ теореми. Якщо u1, u2, u3 - коріння кубічного рівняння (), то, відповідно до леми, мають місце співвідношення
u1 + u2 + u3 =, 1u2 + u1u3 + u2u3 =, 1u2u3 =.
Але це і означає, що числа x = u1, y = u2, z = u3 складають рішення системи (). Ще п'ять рішень виходять з цього перестановками значень невідомих. Те, що інших рішень система () не має, випливає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо. p> Отже, нехай x = a, y = b, z = c - рішення системи (), тобто
a + b + c =, + ac + bc =, =.
Тоді ми маємо:
В
Це означає, що числа a, b, c є корінням кубічного рівняння (). Теорема доведена. p> Зауваження. Доведена теорема показує також, що якщо вже знайдені значення величин,,, то для знаходження значень первинних невідомих x, y, z (тобто для вирішення системи ()) досить скласти кубічне рівняння () і знайти його коріння. У підручниках вищої алгебри можна знайти формули для вирішення кубічних рівнянь. Однак формули ці складні і на практиці рідко застосовуються. Найчастіше намагаються знайти один корінь кубічного рівняння, після чого користуються теоремою Безу:
Залишок від ділення многочлена
? (x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an
на xa дорівнює значенню цього многочлена при x = a, тобто дорівнює числу
? (a) = a0an + a1an-1 + ... + an.
Щоб довести цю теорему, розділимо многочлен? (x) на xa. Ми отримаємо приватне, яке позначимо через q (x), і деякий залишок r (x). Цей залишок є многочленом, ступінь якого менше ступеня дільника xa, тобто дорівнює ...
