Зауважимо, що рівність ? 1 =? 2 означає а = b; тоді ми маємо кругової конус або конус обертання, його перетину площинами z = h суть кола; якщо ? 1 =? 2 = -? 3 , то рівняння конуса перетворюється на
2 + y 2 -z 2 = 0
-маємо круговий конус, що утворюють якого нахилені до його осі під кутом ?/4.
Якщо все характеристичні числа-одного знака, ми можемо переписати рівняння (I *) при ? = 0 у вигляді
В
Це канонічне рівняння уявного конуса.
В°. Нехай тепер ? ? 0; це означає, що ми маємо невироджених центральну поверхню.
Переписуємо тоді рівняння (I *) у вигляді
(I **)
Можливі чотири випадки (Пишемо знову х, у, z замість х ", у", z ".)
а) Всі три характеристичних числа мають один і той же знак, і ? > 0, тоді можемо покласти
В
причому а, b, з завжди вважаємо позитивними. Переписуємо рівняння (I **) у вигляді
В
- отримали канонічне рівняння уявного еліпсоїда.
б) Всі три характеристичних числа мають один і той же знак, і ? <0. Тоді вважаємо
В
-отримуємо канонічне рівняння речового еліпсоїда
В
в) Характеристичні числа мають різні знаки, і ? <0. Припустимо, що числа ? 1 і ? 2 мають однакові знаки, а ? 3 має знак, їм протилежний. Вважаємо
В
Отримуємо рівняння
В
- канонічне рівняння двуполостного гіперболоїда. І нарешті,
г) Характеристичні числа мають різні знаки, і ? > 0. Припустимо знову, що числа ? 1 ...
